Question

如圖，⊙O的半徑為1，點P是⊙O上一點，弦AB垂直平分線段OP，點D是弧APB上任一點（與端點A、B不重合），DE⊥AB于點E，以點D為圓心、DE長為半徑作⊙D，分別過點A、B作⊙D的切線，兩條切線相交于點C．
（1）求弦AB的長；
（2）判斷∠ACB是否為定值？若是，求出∠ACB的大小；否則，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接OA．設OP與AB的交點為F，則△OAF為直角三角形，且OA=1，OF=

1

2

，借助勾股定理可求得AF的長；
（2）要判斷∠ACB是否為定值，只需判定∠CAB+∠ABC的值是否是定值，由于⊙D是△ABC的內切圓，所以AD和BD分別為∠CAB和∠ABC的角平分線，因此只要∠DAE+∠DBA是定值，那么CAB+∠ABC就是定值，而∠DAE+∠DBA等于弧AB所對的圓周角，這個值等于∠AOB值的一半；

解答：解：（1）連接OA．設OP與AB的交點為F．
∵⊙O的半徑為1（已知），
∴OA=1．
∵弦AB垂直平分線段OP，
∴OF=

1

2

OP=

1

2

，AF=BF（垂徑定理），
在Rt△OAF中，AF=

OA2-OF2

=

12-( 1 2 )2

=

3

2

（勾股定理），
∴AB=2AF=

3

．

（2）∠ACB是定值．
理由：連接AD，BD，OA，OB，
∵DE⊥AB于點E，點D為圓心、DE長為半徑作⊙D，
∴AB與⊙D相切于E點，
又∵過點A、B作⊙D的切線，
∴⊙D是△ABC的內切圓，
∵OB=1，OF=

1

2

，OF⊥AB，
∴∠FBO=30°（30°角所對的直角邊是斜邊的一半），
∴∠FOB=60°，
∴∠AOB=120°，
∴∠ADB=∠AOB=120°．
又⊙D是△ABC的內切圓，
∴∠DAB=

1

2

∠CAB，∠DBA=

1

2

∠CBA，
∴∠DAB+∠DBA=

1

2

（∠CAB+∠CBA）=180°-∠ADB=60°，
∴∠CAB+∠CBA=120°，
∴∠ACB的度數為60°（三角形內角和定理）．

點評：考查了圓的綜合題．本題巧妙將垂徑定理、勾股定理、內切圓等知識綜合在一起，需要考生從前往后按順序解題，前面問題為后面問題的解決提供思路，是一道難度較大的綜合題．