Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，=n，M為BC上的一點，連接BM．

（1）如圖1，若n=1，

①當M為AC的中點，當BM⊥CD于H，連接AH，求∠AHD的度數；

②如圖2，當H為CD的中點，∠AHD=45°，求的值和∠CAH的度數；

（2）如圖3，CH⊥AM于H，連接CH并延長交AC于Q，M為AC中點，直接寫出tan∠BHQ的值（用含n的式子表示）．

Answer 1

【答案】（1）①45°；②，15°；（2）tan∠BHQ=n．

【解析】

（1）①如圖1中，作AK⊥CD交CD的延長線于K．利用全等三角形的性質證明AK=CH，再證明CH=KH，推出AK=KH即可解決問題．

②如圖2中，作AK⊥CD交CD的延長線于K，作CM⊥AB于M．設DH=CH=a．證明△ADH∽△CDA，推出AD=a，設AM=CM=BM=x，在Rt△CMD中，根據CM2=DM2+CD2，構建方程求出x（用a表示），求出BD即可，再證明sin∠ACK=，推出∠ACK=30°即可解決問題．

（2）作AJ⊥BM交BM的延長線于J．設AM=CM=y，則BC=2yn．想辦法求出AJ，HJ（用n，y表示）即可解決問題．

（1）①如圖1中，作AK⊥CD交CD的延長線于K．

∵CD⊥BM，AK⊥CK，∠ACB=90°，

∴∠CHB=∠K=90°，∠CBH+∠BCH=90°，∠BCH+∠ACK=90°，

∴∠CBH=∠ACK，

∵CB=CA，

∴△CHB≌△AKC（AAS），

∴AK=CH，

∵∠CHM=∠K=90°，

∴MH∥AK，

∵AM=BM，

∴CH=KH，

∴AK=KH，

∵∠K=90°，

∴∠AHD=45°．

②如圖2中，作AK⊥CD交CD的延長線于K，作CM⊥AB于M．設DH=CH=a．

∵CA=CB，∠ACB=90°，

∴∠CAB=45°，

∵∠AHD=45°，∠AHD=∠ACH+∠CAH，

∴∠ACH+∠CAH=∠CAH+∠DAH，

∴∠DAH=∠ACD，

∵∠ADH=∠CAD，

∴△ADH∽△CDA，

∴=，

∴=，

∴AD=a，

∵CA=CB，∠ACB=90°，CM⊥AB，

∴AM=BM，

∴CM=AM=BM，設AM=CM=BM=x，

在Rt△CMD中，∵CM2=DM2+CD2，

∴x2+（x﹣a）2=4a2，

解得x=a（負根已經舍棄）．

∴BD=AB﹣AD=（+）a﹣a=a，

∴．

∵△ADH∽△CDA，

∴，設AH=m，則AC=m，AK=KH=m，

∴tan∠ACK=，

∴∠ACH=30°，

∴∠CAH=∠AHD﹣∠ACH=45°﹣30°=15°．

（2）作AJ⊥BM交BM的延長線于J．設AM=CM=y，則BC=2yn．

∵CH⊥BM，BM===y，

∴CH==，

∴HM==y，

∵AJ⊥BJ，CH⊥BJ，

∴∠J=∠CHM=90°，

∵∠AMJ=∠CMH，AM=CM，

∴△AMJ≌△CMH（AAS），

∴AJ=CH=y，HM=JM=y，

∵∠BHQ=∠AHJ，

∴tan∠BHQ=tan∠AHJ=.