Question

已知：二次函數y=ax²-2x+c的圖象與x軸交于A（-1，0）和B兩點（如圖），與y軸交于點C，對稱軸是直線x=1，E為拋物線頂點．
（1）求該二次函數的解析式；
（2）直線y=-

1

3

x+1交y軸于D點．
①猜想△BCE的形狀，并判斷它和△BOD是否相似，請說明理由；
②若點M是直線BD下方的拋物線上一個動點，點M運動到什么位置時，△BDM的面積等于△BOE的面積？直接寫出所有滿足要求的點M的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據點A的坐標和對稱軸求的函數圖象于x軸的另一個交點坐標，理由待定系數法求函數的解析式即可；
（2）將求的函數解析式通過配方確定其頂點坐標，過E作EF⊥y軸于F，然后求的拋物線y=x²-2x-3于y軸的交點坐標，從而得到△BCE和△BOD均是等腰直角三角形，從而證明△BCE∽△BOD；

解答：解：（1）∵A（-1，0）且對稱軸是直線x=1，
∴B（3，0），
把A（-1，0），B（3，0）分別代入y=ax²-2x+c得，

0=a+2+c 0=9a-6+c

，
解得：

a=1 c=-3

，
∴這個二次函數的解析式為：y=x²-2x-3；

（2）①△BCE∽△BOD，理由如下：
由y=x²-2x-3=（x-1）²-4得E（1，-4）
過E作EF⊥y軸于F，則EF=1．
∵拋物線y=x²-2x-3于y軸交于點C（0，-3），
∴OC=OB=3，CF=4-3=1=EF
∴△CFE和△OBC均是等腰直角三角形，
∴△BCE∽△BOD；
②M（0，-3）；

點評：本題考查了二次函數的綜合知識，題目中還考查了相似三角形的判定與性質，題目難度較大．