Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx﹣3與直線y＝x+3交于點A（m，0）和點B（2，n），與y軸交于點C．

（1）求m，n的值及拋物線的解析式；

（2）在圖1中，把△AOC平移，始終保持點A的對應點P在拋物線上，點C，O的對應點分別為M，N，連接OP，若點M恰好在直線y＝x+3上，求線段OP的長度；

（3）如圖2，在拋物線上是否存在點Q（不與點C重合），使△QAB和△ABC的面積相等？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+2x﹣3，m＝﹣3，n＝5；（2）3或；（3）存在；Q點坐標為（﹣1，﹣4）或（3，12）或（﹣4，5），理由見解析

【解析】

（1）把點A（m，0）和點B（2，n）代入直線y＝x+3，解得：m＝﹣3，n＝5，A（﹣3，0）、B（2，5），把A、B坐標代入拋物線解析式即可求解；

（2）由平移得：PN＝OA＝3，NM＝OC＝3，設：平移后點P（t，t2+2t﹣3），則N（t+3，t2+2t﹣3），M（t+3，t2+2t﹣6），根據點M在直線y＝x+3上，即可求解；

（3）存在．設：直線AB交y軸于D（0，3），點C關于點D的對稱點為C′（0，9）按照△QAB和△Q′AB和△ABC的面積相同即可求解．

解：（1）把點A（m，0）和點B（2，n）代入直線y＝x+3，解得：m＝﹣3，n＝5，

∴A（﹣3，0）、B（2，5），把A、B坐標代入拋物線解析式，解得：a＝1，b＝2，

∴拋物線解析式為：y＝x2+2x﹣3…①，

則C（0，﹣3）；

（2）由平移得：PN＝OA＝3，NM＝OC＝3，

設：平移后點P（t，t2+2t﹣3），則N（t+3，t2+2t﹣3），

∴M（t+3，t2+2t﹣6），∵點M在直線y＝x+3上，

∴t2+2t﹣6＝t+3+3，解得：t＝3或﹣4，

∴P點坐標為（3，12）或（﹣4，5），

則線段OP的長度為：3或；

（3）存在．

設：直線AB交y軸于D（0，3），點C關于點D的對稱點為C′（0，9）

過點C和C′分別做AB的平行線，交拋物線于點Q、Q′，

則：△QAB和△Q′AB和△ABC的面積相同，

直線QC和Q′C的方程分別為：y＝x﹣3和y＝x+9…②，

將①、②聯立，解得：x＝﹣1或x＝3或x＝﹣4，

∴Q點坐標為（﹣1，﹣4）或（3，12）或（﹣4，5）．