Question

【題目】如圖1，△ABC內接于⊙O，∠BAC的平分線AD交⊙O于點D，交BC于點E，過點D作DF∥BC，交AB的延長線于點F．

（1）求證：△BDE∽∠ADB；
（2）試判斷直線DF與⊙O的位置關系，并說明理由；
（3）如圖2，條件不變，若BC恰好是⊙O的直徑，且AB=6，AC=8，求DF的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠DAC，

∵∠DAC=∠DBC，

∴∠DBC=∠BAD，

∵∠BDE=∠ADB，

∴△BDE∽∠ADB

（2）相切．

理由：如圖1，連接OD，

∵∠BAD=∠DAC，

∴ = ，

∴OD⊥BC，

∵DF∥BC，

∴OD⊥DF，

∴DF與⊙O相切

（3）如圖2，過點B作BH⊥AD于點H，連接OD，

則∠BH

D=90°，

∵BC是直徑，

∴∠BAC=90°，

∴∠BHD=∠BAC，

∵∠BDH=∠C，

∴△BDH∽△BCA，

∴ = ，

∵AB=6，AC=8，

∴BC= =10，

∴OB=OD=5，

∴BD= =5 ，

∴ = ，

∴BH=3 ，

∴DH= =4 ，AH= =3 ，

∴AD=AH+DH=7 ，

∵DF與⊙O相切，

∴∠FDB=∠FAD，

∵∠F=∠F，

∴△FDB∽△FAD，

∴ = = = ，

∴AF= DF，BF= DF，

∴AB=AF﹣BF= DF﹣ DF=6，

解得：DF= ．

【解析】（1）由AD平分∠BAC，易得∠BAD=∠CAD=∠CBD，又由∠BDE是公共角，即可證得：△BDE∽∠ADB；（2）首先連接OD，由AD平分∠BAC，可得 = ，由垂徑定理，即可判定OD⊥BC，又由BC∥DF，證得結論；（3）首先過點B作BH⊥AD于點H，連接OD，易證得△BDH∽△BCA，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得BH的長，繼而求得AD的長，然后證得△FDB∽△FAD，又由相似的性質，求得答案．