Question

【題目】如圖，點A（3，2）和點M（m，n）都在反比例函數y= （x＞0）的圖象上．

（1）求k的值，并求當m=4時，直線AM的解析式；
（2）過點M作MP⊥x軸，垂足為P，過點A作AB⊥y軸，垂足為B，直線AM交x軸于點Q，試說明四邊形ABPQ是平行四邊形；
（3）在（2）的條件下，四邊形ABPQ能否為菱形？若能，請求出m的值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把A（3，2）代入得：k=6，

∴反比例函數的解析式為：y= ；

把m=4代入反比例解析式得：n= =1.5，

∴M（4，1.5），

設直線AM的解析式為：y=kx+b；

根據題意得： ，

解得：k=﹣0.5，b=3.5，

∴直線AM的解析式為：y=﹣0.5x+3.5

（2）

解：根據題意得：P（m，0），M（m， ），B（0，2），

設直線BP的解析式為：y=kx+b，

把點B（0，2），P（m，0）代入得： ，

解得：k=﹣ ；

設直線AM的解析式為：y=ax+c，

把點A（3，2），M（m， ）代入得： ，

解得a=﹣ ，

∵k=a=﹣ ，

∴直線BP與直線AM的位置關系是BP∥AM，

∵AB∥PQ，

∴四邊形ABPQ是平行四邊形

（3）

解：在（2）的條件下，四邊形ABPQ能為菱形，理由為：

若四邊形ABPQ為菱形，則有AB=BP=3，

∴m2+22=9，即m2=5，

此時m= ，

則在（2）的條件下，四邊形ABPQ能為菱形

【解析】（1）把A坐標代入反比例解析式求出k的值，確定出反比例解析式，把m=4代入反比例解析式求出n的值，確定出M坐標，設直線AM解析式為y=kx+b，把A與M代入求出k與b的值，即可確定出直線AM解析式；（2）根據題意表示出直線BP與AM解析式，得出兩直線斜率相等，進而確定出AM與BP平行，再由AB與PQ平行，利用兩對對應邊平行的四邊形為平行四邊形即可得證；（3）在（2）的條件下，四邊形ABPQ能為菱形，若四邊形ABPQ為菱形，則有AB=BP=3，根據B與P坐標列出關于m的方程，求出方程的解即可得到這樣的菱形存在．
【考點精析】掌握反比例函數的圖象和反比例函數的性質是解答本題的根本，需要知道反比例函數的圖像屬于雙曲線．反比例函數的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形．有兩條對稱軸：直線y=x和 y=-x．對稱中心是：原點；性質:當k＞0時雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個象限內y值隨x值的增大而減小； 當k＜0時雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個象限內y值隨x值的增大而增大．