Question

【題目】如圖，已知直線l與⊙O相離，OA⊥l于點A，交⊙O于點P，OA=5，AB與⊙O相切于點B，BP的延長線交直線l于點C．

（1）求證：AB=AC．
（2）若PC=2 ，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OB，

∵OB=OP，

∴∠OPB=∠OBP，

∵∠OPB=∠APC，

∴∠OBP=∠APC，

∵AB與⊙O相切于點B，

∴OB⊥AB，

∴∠ABO=90°，

∴∠ABP+∠OBP=90°，

∵OA⊥AC，

∴∠OAC=90°，

∴∠ACB+∠APC=90°，

∴∠ABP=∠ACB，

∴AB=AC

（2）證明：設⊙O的半徑為r，

在Rt△AOB中，AB2=OA2﹣OB2=52﹣r2，

在Rt△ACP中，AC2=PC2﹣PA2，

AC2=（2 ）2﹣（5﹣r）2，

∵AB=AC，

∴52﹣r2=（2 ）2﹣（5﹣r）2，

解得：r=3，

則⊙O的半徑為3．

【解析】（1）由同圓半徑相等和對頂角相等得∠OBP=∠APC，由圓的切線性質和垂直得∠ABP+∠OBP=90°和∠ACB+∠APC=90°，則∠ABP=∠ACB，根據等角對等邊得AB=AC；（2）設⊙O的半徑為r，分別在Rt△AOB和Rt△ACP中根據勾股定理列等式，并根據AB=AC得52﹣r2=（2 ）2﹣（5﹣r）2 ， 求出r的值即可．