Question

如圖，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，點D為AB的中點．
（1）如果點P在線段BC上以3cm/s的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CA上由C點向A點運動．
①若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經過1s后，△BPD與△CQP是否全等，請說明理由；
②若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當點Q的運動速度為多少時，能夠使△BPD與△CQP全等？
（2）若點Q以②中的運動速度從點C出發，點P以原來的運動速度從點B同時出發，都逆時針沿△ABC三邊運動，求經過多長時間點P與點Q第一次在△ABC的哪條邊上相遇？

Answer 1

分析：（1）①根據時間和速度分別求得兩個三角形中的邊的長，根據SAS判定兩個三角形全等．
②根據全等三角形應滿足的條件探求邊之間的關系，再根據路程=速度×時間公式，先求得點P運動的時間，再求得點Q的運動速度；
（2）根據題意結合圖形分析發現：由于點Q的速度快，且在點P的前邊，所以要想第一次相遇，則應該比點P多走等腰三角形的兩個腰長．

解答：解：（1）①∵t=1s，
∴BP=CQ=3×1=3cm，
∵AB=10cm，點D為AB的中點，
∴BD=5cm．
又∵PC=BC-BP，BC=8cm，
∴PC=8-3=5cm，
∴PC=BD．
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BPD和△CQP中，

PC=BD ∠B=∠C BP=CQ

∴△BPD≌△CQP．（SAS）
②∵v_P≠v_Q，
∴BP≠CQ，
若△BPD≌△CPQ，∠B=∠C，
則BP=PC=4cm，CQ=BD=5cm，
∴點P，點Q運動的時間t=

BP

3

=

4

3

s，
∴vQ=

CQ

t

=

5

4 3

=

15

4

cm/s；

（2）設經過x秒后點P與點Q第一次相遇，
由題意，得

15

4

x=3x+2×10，
解得x=

80

3

．
∴點P共運動了

80

3

×3=80cm．
△ABC周長為：10+10+8=28cm，
若是運動了三圈即為：28×3=84cm，
∵84-80=4cm＜AB的長度，
∴點P、點Q在AB邊上相遇，
∴經過

80

3

s點P與點Q第一次在邊AB上相遇．

點評：此題主要是運用了路程=速度×時間的公式．熟練運用全等三角形的判定和性質，能夠分析出追及相遇的問題中的路程關系．