Question

【題目】如圖所示，雙曲線y＝（x＞0，k＞0）與直線y＝ax+b（a≠0，b為常數）交于A（2，4），B（m，2）兩點．

（1）求m的值；

（2）若C點坐標為（n，0），當AC+BC的值最小時，求出n的值；

（3）求△AOB的面積．

Answer 1

【答案】(1)m=4;(2)n=;(3)6.

【解析】

（1）由A點坐標即可求出反比例函數，再把B點坐標代入反比函數即可求出m的值；

（2）求得B點關于x軸的對稱點B′（4，-2），連接AB′，交x軸與C，此時AC+BC=AB′，AC+BC的值最小，根據待定系數法求得直線AB′的解析式，然后把（n，0）代入求得的解析式即可求得n的值；

（3）根據待定系數法求得直線AB的解析式，即可得到直線AB與x軸的交點C的坐標，然后根據S△AOB=S△AOC-S△BOC求得即可．

解：（1）把A（2，4）代入y＝（x＞0，k＞0），

∴k＝2×4＝8，

∴反比例函數的解析式為y＝，

把B（m，2）代入y＝得，2＝，

解得m＝4；

（2）由（1）可知：A（2，4），B（4，2），

∴B點關于x軸的對稱點B′（4，﹣2），

連接AB′，交x軸與C，此時AC+BC＝AB′，AC+BC的值最小，

設直線AB′的解析式為y＝ax+b，

把A（2，4），B′（4，﹣2）代入得，

解得：，

∴直線AB′的解析式為y＝﹣3x+10，

把（n，0）代入得y＝﹣3n+10，

∴n＝；

（3）設直線AB的解析式為y＝mx+t，

∴把A（2，4），B（4，2）代入得，解得，

∴直線AB的解析式為y＝﹣x+6，

∴直線AB與x軸的交點C（6，0），

∴S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝×6×4﹣×6×2＝6．