Question

【題目】在中，，是邊上的高．

問題發現：

（1）如圖1，若，點是線段上一個動點（點不與點，重合）連接，將線段繞點逆時針旋轉，得到線段，連接，我們會發現、、之間的數量關系是，請你證明這個結論；

提出猜想：

（2）如圖2，若，點是線段上一個動點（點不與點，重合）連接，將線段繞點逆時針旋轉，得到線段，連接，猜想線段、、之間的數量關系是_______；

拓廣探索：

（3）若，（為常數），點是線段上一個動點（點不與點，重合），連接，將線段繞點逆時針旋轉，得到線段，連接．請你利用上述條件，根據前面的解答過程得出類似的猜想，并在圖3中畫出圖形，標明字母，不必解答．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）詳見解析.

【解析】

（1）依據等角的余角相等得到∠ACE=∠BCF，進而由旋轉的性質可得CE=CF，至此結合SAS易證得△ACE≌△BCF，則有AE=BF，利用BE+AE=AB可得到BE+BF=AB；

（2）由于△ABC是等腰直角三角形，根據直角三角形斜邊上中線的性質得到CD=12AB，由此再進行等量代換即可得到CD、BF、BE之間的數量關系；

（3）結合題意可知△ABC為等邊三角形，則有CD=3AB，至此再結合BE+BF=AB即可解答本題，同理可求解.

解：（1）在中，，，，

∴，

由旋轉知，，，

∵，

∴，

∴，

即：

∵，

∴，∴，

∵，

∴；

（2）在中，，，

∴，

在中，，，

∴

由旋轉知，，，

∵，

∴，

∴，

即：，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴；

（3）如圖3，

由旋轉知，，，

∵，

∴，

∴，

即：，

∵，

∴，

∴，

∵，，

∴．