Question

【題目】如圖a，AB為⊙O直徑，AC為⊙O的為弦，PA為⊙O的切線，∠APC=2∠1.

（1）求證：PC是⊙O的切線.

（2）當∠1=30°，AB=4時，其他條件不變，求圖b中陰影部分的面積.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）4－π

【解析】

（1）連接OC，首先證明∠APC+∠AOC=180°，由PA是圓的切線可得∠OAP=90°，根據四邊形內角和可得∠OCP=90°，從而得證；

（2）

（1）證明：連結OC.

在圓O中，OA=OC，

∴∠BOC=2∠1=∠APC

∠BOC+∠AOC=180°

∴∠APC+∠AOC=180°

∵PA為⊙O的切線，

∴∠OAP=90°

又四邊形內角和為360°，

∴∠OCP=90°，OC為⊙O的半徑

∴PC為⊙O的切線.

（2）∵PA為⊙O的切線，PC為⊙O的切線.

∴PA=PC

∵∠1=30°,∠APC=2∠1

∴∠APC=60°，∠AOC=120°，

∴△APC為等邊三角形.

連結OP，OC，則∠APO=∠CPO=30°

∵AB=4

∴OC=OA=2，

在Rt△POA中，PO=4，PA=2，

∴S四邊形AOCP=2××2×2=4，

S扇形AOC=×π×4=π

S陰影部分的面積=4－π.