Question

【題目】我們知道有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.類似的，我們定義：至少有一組對邊相等的四邊形叫做等對邊四邊形.

（1）請寫出一個你學過的四邊形中是等對邊四邊形的圖形的名稱.

（2）如圖1，在中，點分別在上，且相交于點，若， .請你寫出與相等的角.

（3）我們易證圖中的四邊形是等對邊四邊形.

（提示：如圖2，可證≌再證≌，可得到結論.不需證明）

若在中，如果是不等于的銳角， 分別在上，且相交于點， .探究：滿足上述條件的圖形中是否存在等對邊四邊形，并證明你的結論.

Answer 1

【答案】（1）平行四邊形（答案不唯一）；（2）（3）證明見解析

【解析】（1）本題理解等對邊四邊形的圖形的定義,平行四邊形,等腰梯形就是；（2）與∠A相等的角是∠BOD（或∠COE），四邊形是等對邊四邊形；（3）作CG⊥BE于G點，作BF⊥CD交CD延長線于F點．易證△BCF≌△CBG，進而證明△BDF≌△CEG，所以BD=CE，所以四邊形是等邊四邊形.
解：（1）如：平行四邊形、等腰梯形等．
（2）答：與∠A相等的角是∠BOD（或∠COE），
∵∠BOD=∠OBC+∠OCB=30°+30°=60°，
∴∠A=∠BOD，
猜想：四邊形DBCE是等對邊四邊形；
（3）答：此時存在等對邊四邊形，是四邊形DBCE．
證法一：如圖，作CG⊥BE于G點，作BF⊥CD交CD延長線于F點．

∵∠DCB=∠EBC=∠A，BC為公共邊，
∴△BCF≌△CBG，∴BF=CG，
∵∠BDF=∠ABE+∠EBC+∠DCB，∠BEC=∠ABE+∠A，
∴∠BDF=∠BEC，∴△BDF≌△CEG，
∴BD=CE
∴四邊形DBCE是等對邊四邊形．
證法二：如圖，以C為頂點作∠FCB=∠DBC，CF交BE于F點．

∵∠DCB=∠EBC=∠A，BC為公共邊，
∴在△BDC與△CFB中，
∠DBC=∠FCB，BC=CB，∠DCB=∠EBC，

∴△BDC≌△CFB（ASA），
∴BD=CF，∠BDC=∠CFB，
∴∠ADC=∠CFE，
∵∠ADC=∠DCB+∠EBC+∠ABE，∠FEC=∠A+∠ABE，
∴∠ADC=∠FEC，
∴∠FEC=∠CFE，
∴CF=CE，
∴BD=CE，
∴四邊形DBCE是等對邊四邊形．
“點睛”解決本題的關鍵是理解等對邊四邊形的定義，把證明BD=CE的問題轉化為證明三角形全等的問題．