Question

【題目】已知AB為⊙O的直徑，點C為的中點，BD為弦，CE⊥BD于點E，

（1）如圖1,求證：CE=DE；

（2）如圖2,連接OE,求∠OEB的度數；

（3）如圖3,在（2）條件下,延長CE,交直徑AB于點F,延長EO,交⊙O于點G,連接BG,CE=2,EF=3,求△EBG的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）△EBG的面積為6+3 .

【解析】（1）如圖1中，連接CD、OC. 只要證明∠CDE=∠COB=45°即可.

（2）如圖2中，連接OD、OC，只要證明△OED≌△OEC，推出∠OED=∠CEO=135°，即可解決問題.

（3）如圖3中，過0作OM⊥BD于M，BN⊥EG于N，則∠EMO=90°,連接OC，設EM=x，則BM=DM=2-x，由EF∥OM，得=列出方程即可解決.

解：（1）證明：如圖1中，連接CD、OC．

∵點C是AB 中點，∴AC=BC，∴∠AOC=∠BOC，

∵∠AOC+∠BOC=180°，∴∠AOC=∠BOC=90°，∴∠D=45°，

∵CE⊥BD，∴∠CED=90°，∴∠D=∠DCE=45°，∴CE=DE．

（2）證明：如圖2中，連接OD，OC

在△OED和△OEC中，

OC=OD，CE=DE，OE=OE，

∴△OED≌△OEC，

∵∠CED=90°，∴∠OED=∠CEO=135°，∴∠OEB=45°．

（3）解：如圖3中，過O作OM⊥BD于M，BN⊥EG于N，則∠EMO=90°，連接OC．

∵CE=2，∴DE=2，設EM=x，則BM=DM=2+x，∴BE=2x+2，∵∠OEB=45°，則BM=DM=2+x，∴OM=x，

∵∠OEB=45°，∴∠CEB=∠EMO，∴EF∥OM．

∴ ，即，解得x=2或（舍去），

∴OE=2 ，BM=4，OM=2，BN=3 ，∴OB=2 ∴EG=OE+OG=2 +2 ，

∴S△EBG=EGBN=（2 +2 ）×3 =6+3 ．

“點睛”本題考查圓的綜合題、全等三角形的判定和性質、平行線的性質、圓的有關知識，解題的關鍵是靈活應用這些知識解決問題，學會添加常用輔助線，學會用方程的思想思考問題，屬于中考壓軸題.