Question

【題目】如圖1，和都是等邊三角形

（1）求證：四邊形是菱形

（2）給方向將平移到的位置如圖2，此時，四邊形（如圖3）是平行四邊形嗎？

（3）若按（2）題的方式繼續平移到，當在什么位置時，四邊形是矩形，請畫出的位置（如圖4），并證明你的結論

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）是平行四邊形；（3）四邊形ABD2C2是矩形，證明和圖見解析

【解析】

（1）根據△ABC和△DBC都是等邊三角形，得AB=BC=CD=DA，從而證明是菱形；

（2）根據平移知△B1C1D1≌△BCD，再證AB//C1D1，從而證明是平行四邊形；

（3）先證B、C、C2三點共線和A、C、D2三點共線，從而證明AD2=BC2且相互平分即可證明是矩形.

證明：（1）∵△ABC和△DBC都是等邊三角形，

∴AB=BC=CA，BD=BC=CD，

∴AB=BC=CD=DA，

∴四邊形ABDC是菱形；

（2）是平行四邊形，證明如下：

∵△B1C1D1是△BCD沿BC方向平移的，

∴△B1C1D1≌△BCD，

∵∠ABC1=∠B1C1D1=60，

∴AB//C1D1，

∵AB=C1D1，

∴四邊形AB D1C1是平行四邊形；

（3）如圖，當C點與B2重合時，四邊形ABD2C2是矩形，證明如下：

∵△B2D2C2是沿著BC方向平移，

∴B、C、C2三點共線，

∴∠BCC2=180 ，

∴∠DCD2=180-∠BCD-∠C2CD2=60，

∴∠ACD2=∠ACB+∠BCD+∠DCD2=180，

∴A、C、D2三點共線，

∴AD2=AC+CD2，BC2=BC+CC2，

∵AC=CD2=BC=CC2，

∴AD2=BC2且相互平分，

∴四邊形ABD2C2是矩形.