Question

圖1是一個長為2m、寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后按圖2的形狀拼成一個正方形．

（1）你認為圖2中的陰影部分的正方形的邊長等于

m-n

？
（2）請用兩種不同的方法求圖2中陰影部分的面積．
①

（m-n）²

；
②

（m+n）²-4mn

．
（3）觀察圖2你能寫出下列三個代數式之間的等量關系嗎？
（m+n）²，（m-n）²，mn

（m-n）²=（m+n）²-4mn

．
（4）運用你所得到的公式，計算若mn=-2，m-n=4，求（m+n）²的值．
（5）用完全平方公式和非負數的性質求代數式x²+2x+y²-4y+7的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據陰影部分正方形的邊長等于小長方形的長減去寬解答；
（2）從整體與局部兩個思路考慮解答；
（3）根據大正方形的面積減去陰影部分小正方形的面積等于四個長方形的面積解答；
（4）把數據代入（3）的數量關系計算即可得解；
（5）根據完全平方公式配方，再根據非負數的性質即可得解．

解答：解：（1）由圖可知，陰影部分小正方形的邊長為：m-n；

（2）根據正方形的面積公式，陰影部分的面積為（m-n）²，
還可以表示為（m+n）²-4mn；

（3）根據陰影部分的面積相等，（m-n）²=（m+n）²-4mn；

（4）∵mn=-2，m-n=4，
∴（m+n）²=（m-n）²+4mn=4²+4×（-2）=16-8=8；

（5）x²+2x+y²-4y+7，
=x²+2x+1+y²-4y+4+2，
=（x+1）²+（y-2）²+2，
∵（x+1）²≥0，（y-2）²≥0，
∴（x+1）²+（y-2）²≥2，
∴當x=-1，y=2時，代數式x²+2x+y²-4y+7的最小值是2．
故答案為：（1）m-n；（2）（m-n）²，（m+n）²-4mn；（3）（m-n）²=（m+n）²-4mn．

點評：本題考查了完全平方公式的幾何背景，準確識圖，根據陰影部分的面積的兩種不同表示方法得到的代數式的值相等列式是解題的關鍵．