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如圖，點

，

在線段

上，且

是等邊三角形。
① 若

，求證

∽

。
② 當

∽

時，試求

的度數。

①證明：∵

∴

∵

是等邊三角形
∴

，

∴

且

∴

∽

②解：∵

∽

∴

（1）利用

是等邊三角形得出

和

，從而得出

∽

；
（2）由（1）得出

，利用等量互換得出∠APB=∠PDC+∠CPD=120°.

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如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，D是⊙O上一點，且AD∥CO.

（1）試說明△ADB與△OBC相似.
（2）若AB=2,BC=

,求AD的長.（結果保留根號）

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深化理解（本小題滿分9分）
如圖，在平面直角坐標系中，點C的坐標為（0，4），A是

軸上的一個動點，M是線段AC的中點.把線段AM進行以A為旋轉中心、向順時針方向旋轉90°的旋轉變換得到AB.過B作

軸的垂線、過點C作

軸的垂線，兩直線交于點D，直線DB交

軸于一點E.

設A點的橫坐標為

，
（1）若

=3，則點B的坐標為 ▲ ，若

=-3，，則點B的坐標為 ▲ ；
（2）若

＞0，△BCD的面積為

，則

為何值時，

？
（3）是否存在

，使得以B、C、D為頂點的三角形與△AOC相似？若存在，求此時

的值；若不存在，請說明理由.

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科目：初中數學 來源：不詳 題型：解答題

數學課上，李老師出示了這樣一道題目：如圖，正方形

的邊長為

，

為邊

延長線上的一點，

為

的中點，

的垂直平分線交邊

于

，交邊

的延長線于

.當

時，

與

的比值是多少？
經過思考，小明展示了一種正確的解題思路：過

作直線平行于

交

，

分別于

，

，如圖

，則可得：

，因為

，所以

.可求出

和

的值，進而可求得

與

的比值.

(1) 請按照小明的思路寫出求解過程.
(2) 小東又對此題作了進一步探究，得出了

的結論.你認為小東的這個結論正確嗎？如果正確，請給予證明；如果不正確，請說明理由.

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科目：初中數學 來源：不詳 題型：解答題

圖是小紅設計的鉆石形商標，△ABC是邊長為2的等邊三角形，四邊形ACDE是等腰梯形，AC∥ED，∠EAC=60°，AE=1．
（1）證明：△ABE≌△CBD；
（2）圖中存在多對相似三角形，請你找出一對進行證明，并求出其相似比（不添加輔助線，不找全等的相似三角形）；
（3）小紅發現AM=MN=NC，請證明此結論；
（4）求線段BD的長．