Question

深化理解（本小題滿分9分）
如圖，在平面直角坐標系中，點C的坐標為（0，4），A是軸上的一個動點，M是線段AC的中點.把線段AM進行以A為旋轉中心、向順時針方向旋轉90°的旋轉變換得到AB.過B作軸的垂線、過點C作軸的垂線，兩直線交于點D，直線DB交軸于一點E.

設A點的橫坐標為，
（1）若=3，則點B的坐標為  ▲  ，若=-3，，則點B的坐標為  ▲  ；
（2）若＞0，△BCD的面積為，則為何值時，？
（3）是否存在，使得以B、C、D為頂點的三角形與△AOC相似？若存在，求此時的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）（5, 1.5 ） ， （-1, -1.5 ）；（2） （3），理由見解析

（1）（5, 1.5 ） ， （-1, -1.5 ）；            
（2）①當時，如圖（1）
△AOC∽△BEA且相識比為  
求得點B的坐標為（，）         
∴ 
解得                        
②當時，如圖（2）

解得      
∴
（3）①當時，如圖（1）
若△AOC∽△CDB
∴ 即：   
∴無解
若△AOC∽△BDC，同理，解得 
②當時，如圖（2）
若△AOC∽△CDB，
∴ 即：
解得，取
若△AOC∽△BDC，同理，解得無解  
③當時，如圖（3）
若△AOC∽△CDB
∴ 即：
解得   
若△AOC∽△BDC，同理，解得無解
④當時，如圖（4）
若△AOC∽△CDB
∴ 即：  
∴無解 
若△AOC∽△BDC，同理，解得
∴
（1）根據勾股定理和對稱性求解
（2）求△BCD的面積時，可以CD為底、BD為高來解，那么表示出BD的長是關鍵；
Rt△CAO∽Rt△ABE，且知道AC、AB的比例關系，即可通過相似三角形的對應邊成比例求出BE的長，進一步得到BD的長，在表達BD長時，應分兩種情況考慮：①B在線段DE上，②B在ED的延長線上．
（3）通過B點所在的不同位置，分四種情況解答