Question

滿足方程x²+y²=z²的正整數x、y、z，我們稱它們為勾股數．
（1）已知x=m²-n²，y=2mn，z=m²+n²，請證明x、y、z是一組勾股數；
（2）求有一個數是16的一組勾股數．

Answer 1

解：（1）∵x²+y²=（m²-n²）²+（2mn）²=m⁴-2m²n²+n⁴+4m²n²=m⁴+2m²n²+n⁴，
z²=（m²+n²）²=m⁴+2m²n²+n⁴，
∴x²+y²=z²，
∴x、y、z是一組勾股數．
（2）設y=16，則y=16=2×8×1．取m=8，n=1，
則x=8²-1=63，z=8²+1=65．
∴有一個數是16的一組勾股數是63，16，65．
分析：（1）欲判斷是否為勾股數，必須根據勾股數是正整數，同時還需驗證兩小邊的平方和是否等于最長邊的平方．
（2）設x²+y²=z²中的y=16，結合勾股數的特征，求出x，z的值，即可得到有一個數是16的一組勾股數．注意答案不唯一．
點評：本題考查了勾股數的概念．解答此題要用到勾股數的定義，注意正確運用勾股定理的逆定理．