Question

在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°,△ABD是等邊三角形
小題1:如圖1, E是AB的中點，連結CE并延長交AD于F.
求證：① △AEF≌△BEC；
② 四邊形BCFD是平行四邊形；
小題2:如圖2，將四邊形ACBD折疊,使D與C重合，HK為折痕，求sin∠ACH的值.

Answer 1

小題1:① 在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°,
∴ ∠ABC=60°.
在等邊△ABD中，∠BAD=60°, ∴ ∠BAD=∠ABC="60°" .      
∵ E為AB的中點，∴ AE=BE.                                
又∵ ∠AEF=∠BEC ,  ∴ △AEF≌△BEC                      3分
② 在△ABC中，∠ACB=90°，E為AB的中點
∴ CE=AB,BE=AB， ∴ ∠BCE=∠EBC="60°" .                          
又∵ △AEF≌△BEC,  ∴ ∠AFE=∠BCE="60°" .
又∵ ∠D=60°, ∴ ∠AFE=∠D=60° ∴ FC∥BD      
又∵ ∠BAD=∠ABC=60°，∴ AD∥BC，即FD∥BC                
∴ 四邊形BCFD是平行四邊形.
小題2:

① 在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°,
∴ ∠ABC=60°.
在等邊△ABD中，∠BAD=60°, ∴ ∠BAD=∠ABC="60°" .      
∵ E為AB的中點，∴ AE=BE.                                
又∵ ∠AEF=∠BEC ,  ∴ △AEF≌△BEC                      3分
② 在△ABC中，∠ACB=90°，E為AB的中點
∴ CE=AB,BE=AB， ∴ ∠BCE=∠EBC="60°" .                          
又∵ △AEF≌△BEC,  ∴ ∠AFE=∠BCE="60°" .
又∵ ∠D=60°, ∴ ∠AFE=∠D=60° ∴ FC∥BD      
又∵ ∠BAD=∠ABC=60°，∴ AD∥BC，即FD∥BC                
∴ 四邊形BCFD是平行四邊形.
（2）∵∠BAD=60°，∠CAB=30° ∴∠CAH=90°
在Rt△ABC中，∠CAB=30°，設BC =a
∴ AB=2BC=2a，∴ AD=AB=2a.
設AH =" x" ，則 HC=HD=AD-AH=2a-x.           
在Rt△ABC中，AC²=(2a) ²-a²=3a².
在Rt△ACH中，AH²+AC²=HC²，即x²+3a²=(2a-x) ².
解得 x=a，即AH=a.
∴ HC=2a-x=2a-a=a