Question

【題目】我市在黨中央實施“精準扶貧”政策的號召下，大力開展科技扶貧工作，幫助農民組建農副產品銷售公司，某農副產品的年產量不超過100萬件，該產品的生產費用y（萬元）與年產量x（萬件）之間的函數圖象是頂點為原點的拋物線的一部分（如圖①所示）；該產品的銷售單價z（元/件）與年銷售量x（萬件）之間的函數圖象是如圖②所示的一條線段，生產出的產品都能在當年銷售完，達到產銷平衡，所獲毛利潤為W萬元．（毛利潤=銷售額﹣生產費用）

（1）請直接寫出y與x以及z與x之間的函數關系式；（寫出自變量x的取值范圍）

（2）求W與x之間的函數關系式；（寫出自變量x的取值范圍）；并求年產量多少萬件時，所獲毛利潤最大？最大毛利潤是多少？

（3）由于受資金的影響，今年投入生產的費用不會超過360萬元，今年最多可獲得多少萬元的毛利潤？

Answer 1

【答案】（1）y=x2．z=﹣x+30（0≤x≤100）；（2）年產量為75萬件時毛利潤最大，最大毛利潤為1125萬元；（3）今年最多可獲得毛利潤1080萬元

【解析】

（1）利用待定系數法可求出y與x以及z與x之間的函數關系式；（2）根據（1）的表達式及毛利潤＝銷售額﹣生產費用，可得出w與x的函數關系式，再利用配方法求出最值即可；（3）首先求出x的取值范圍，再利用二次函數增減性得出答案即可.

（1）圖①可得函數經過點（100，1000），

設拋物線的解析式為y＝ax2（a≠0），

將點（100，1000）代入得：1000＝10000a，

解得：a＝，

故y與x之間的關系式為y＝x2．

圖②可得：函數經過點（0，30）、（100，20），

設z＝kx＋b，則，

解得： ，

故z與x之間的關系式為z＝﹣x＋30（0≤x≤100）；

（2）W＝zx﹣y＝﹣x2＋30x﹣x2

＝﹣x2＋30x

＝﹣（x2﹣150x）

＝﹣（x﹣75）2＋1125，

∵﹣＜0，

∴當x＝75時，W有最大值1125，

∴年產量為75萬件時毛利潤最大，最大毛利潤為1125萬元；

（3）令y＝360，得x2＝360，

解得：x＝±60（負值舍去），

由圖象可知，當0＜y≤360時，0＜x≤60，

由W＝﹣（x﹣75）2＋1125的性質可知，

當0＜x≤60時，W隨x的增大而增大，

故當x＝60時，W有最大值1080，

答：今年最多可獲得毛利潤1080萬元．