Question

【題目】問題探究

(1)如圖①，點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45°，則線段BE、EF、FD之間的數量關系為　 　；

(2)如圖②，在△ADC中，AD=2，CD=4，∠ADC是一個不固定的角，以AC為邊向△ADC的另一側作等邊△ABC，連接BD，則BD的長是否存在最大值？若存在，請求出其最大值；若不存在，請說明理由；

問題解決

(3)如圖③，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，BC=4，若BD⊥CD，垂足為點D，則對角線AC的長是否存在最大值？若存在，請求出其最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)BE+DF=EF；(2)存在，BD的最大值為6；(3)存在，AC的最大值為2+2．

【解析】

（1）作輔助線，首先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AEG，進而得到EF=FG問題即可解決；

（2）將△ABD繞著點B順時針旋轉60°，得到△BCE，連接DE，由旋轉可得，CE=AD=2，BD=BE，∠DBE=60°，可得DE=BD，根據DE＜DC+CE，則當D、C、E三點共線時，DE存在最大值，問題即可解決；

（3）以BC為邊作等邊三角形BCE，過點E作EF⊥BC于點F，連接DE，由旋轉的性質得△DBE是等邊三角形，則DE=AC，根據在等邊三角形BCE中，EF⊥BC，可求出BF，EF，以BC為直徑作⊙F，則點D在⊙F上，連接DF，可求出DF，則AC=DE≤DF+EF，代入數值即可解決問題.

(1)如圖①，延長CD至G，使得DG=BE，

∵正方形ABCD中，AB=AD，∠B=∠AFG=90°，

∴△ABE≌△ADG，

∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，

∵∠EAF=45°，∠BAD=90°，

∴∠BAE+∠DAF=45°，

∴∠DAG+∠DAF=45°，即∠GAF=∠EAF，

又∵AF=AF，

∴△AEF≌△AEG，

∴EF=GF=DG+DF=BE+DF，

故答案為：BE+DF=EF；

(2)存在．

在等邊三角形ABC中，AB=BC，∠ABC=60°，

如圖②，將△ABD繞著點B順時針旋轉60°，得到△BCE，連接DE．

由旋轉可得，CE=AD=2，BD=BE，∠DBE=60°，

∴△DBE是等邊三角形，

∴DE=BD，

∴在△DCE中，DE＜DC+CE=4+2=6，

∴當D、C、E三點共線時，DE存在最大值，且最大值為6，

∴BD的最大值為6；

(3)存在．

如圖③，以BC為邊作等邊三角形BCE，過點E作EF⊥BC于點F，連接DE，

∵AB=BD，∠ABC=∠DBE，BC=BE，

∴△ABC≌△DBE，

∴DE=AC，

∵在等邊三角形BCE中，EF⊥BC，

∴BF=BC=2，

∴EF=BF=×2=2，

以BC為直徑作⊙F，則點D在⊙F上，連接DF，

∴DF=BC=×4=2，

∴AC=DE≤DF+EF=2+2，即AC的最大值為2+2．