Question

如圖，△BEF的內角∠EBF平分線BD與外角∠AEF的平分線交于點D，過D作DH∥BC分別交EF、EB于G、H兩點．下列結論：①S_△EBD：S_△FBD=BE：BF；②∠EFD=∠CFD；③HD=HF；④BH-GF=HG，其中正確結論的個數有（　　）

A．只有①②③

B．只有①②④

C．只有③④

D．①②③④

Answer 1

①正確．
因為S_△EBD=

1

2

BD•BE•sin∠EBD，S_△FBD=

1

2

BD•BF•sin∠DBF，
所以S_△EBD：S_△FBD=

1

2

BD•BE•sin∠EBD：

1

2

BD•BF•sin∠DBF，
因為BD是∠EBC的平分線，
所以sin∠EBD=sin∠DBF，
所以S_△EBD：S_△FBD=BE：BF；
②正確．
過D作DM⊥AB，DN⊥CB，DO⊥EF，
∵DE是∠AEF的平分線，
∴AD-DO，
∵DB是∠ABC的平分線，
∴DA=DN，
∴DO=DN，
∴DF是∠EFC的平分線，
∴∠EFD=∠CFD；
③錯誤．
因為HD∥BF，
所以∠HDB=∠FBD，
又因為BD平分∠ABC，
所以∠HBD=∠CBD，
于是∠HBD=∠HDB，
故HB=HD．
但沒有條件說明HF與HB必然相等；
④正確．
由于點D為△BEF的內角∠EBF平分線BD與外角∠AEF的平分線的交點，
故D為△BEF的旁心，
于是FD為∠EFC的平分線，
故∠CFD=∠EFD，
又因為DH∥BC，
所以∠HDF=∠CFD，
故∠GDF=∠DFE，
于是GF=GD，
又因為HB=HD，
所以HD-GD=HG，
即BH-GF=HG．
故①②④正確．
故選B．