Question

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于A、B兩點（A在B的左側），與y軸交于點C（0，4），頂點為（1，）。

（1）求拋物線的函數表達式；
（2）設拋物線的對稱軸與軸交于點D，試在對稱軸上找出點P，使△CDP為等腰三角形，請直接寫出滿足條件的所有點P的坐標；
（3）若點E是線段AB上的一個動點（與A、B不重合），分別連接AC、BC，過點E作EF∥AC交線段BC于點F，連接CE，記△CEF的面積為S，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值及此時E點的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）∵拋物線的頂點為（1，），
∴設拋物線的函數關系式為y=a（x-1）²+，
∵拋物線與y軸交于點C（0，4），
∴a（0-1）²+=4，解得a=-，
∴所求拋物線的函數關系式為y=-（x-1）²+；
（2）解：P₁（1，），P₂（1，-），P₃（1，8），P₄（1，）；
（3）解：令-（x-1）²+=0，解得x₁=-2，x₁=4，
∴拋物線y=-（x-1）²+與x軸的交點為A（-2，0）C（4，0），
過點F作FM⊥OB于點M，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴，
又∵OC=4，AB=6，
∴MF=×OC=EB，
設E點坐標為（x，0），則EB=4-x，MF=（4-x），
∴S=S_△BCE-S_△BEF=EB·OC-EB·MF
=EB（OC-MF）
=（4-x）[4-（4-x）]
=-x²+x+=-（x-1）²+3，
∵a=-＜0，∴S有最大值，
當x=1時，S_最大值=3，
此時點E的坐標為（1，0）。