Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，且AB為⊙O的直徑OD⊥AB，與AC交于點E，與過點C的⊙O切線交于點D．

（1）若AC=6，BC=3，求OE的長．

（2）試判斷∠A與∠CDE的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）∠CDE=2∠A，理由見解析.

【解析】分析：(1)由勾股定理求AB，證明△AOE∽△ACB，根據相似三角形的對應線段成比例求OE；(2)連接OC，可知∠3＝2∠A，只需用同角的余角證∠D＝∠3即可.

詳解：(1)∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝900，

在Rt△ABC中，由勾股定理得:AB＝＝3，

∴OA＝AB＝.

∵OD⊥AB，∴∠AOE＝∠ACB＝900，由∵∠A＝∠A，∴△AOE∽△ACB，

∴，即，解得:OE＝.

(2)∠CDE＝2∠A，

理由如下:連接OC，如圖所示：

∵OA＝OC，∴∠1＝∠A，

∵CD是⊙O的切線，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝900，∴∠2＋∠CDE＝900，

∵OD⊥AB，∴∠2＋∠3＝900，∴∠3＝∠CDE，∵∠3＝∠A＋∠1＝2∠A，

∴∠CDE＝2∠A.