Question

【題目】如圖，在△AOB中，∠ABO=90°，OB=4，AB=8，直線y=-x+b分別交OA、AB于點C、D，且ΔBOD的面積是4.

(1)求直線AO的解析式；

(2)求直線CD的解析式；

(3)若點M是x軸上的點，且使得點M到點A和點C的距離之和最小，求點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）y=2x； （2）；（3）點M的坐標為（，0）.

【解析】

（1）先求出點A的坐標，然后設直線AO的解析式為y=kx，用待定系數法求解即可；

（2）由面積法求出BD的長，從而求出點D的坐標，然后帶入y=-x+b求解即可；

（3）先求出點C的坐標，作點C關于x軸的對稱點E，此時M到A、C的距離之和最小，求出直線AE的解析式，即可求出點M的坐標.

（1）OB=4，AB=8，∠ABO=90°，

∴A點坐標為（4，8）,

設直線AO的解析式為y=kx，則4k=8 ,

解得k=2，即直線AO的解析式為y=2x；

（2）OB=4，∠ABO=90°，=4，

∴DB=2，∴D點的坐標為（4，2）,

把D（4，2）代入得：=6,

∴直線CD的解析式為；

（3）由直線與直線組成方程組為,

解得：，

∴點C的坐標為（2，4）

如圖，設點M使得MC+MA最小，作點C關于x軸的對稱點E，可得點E的坐標為(2，-4)，連結MC、ME、AE，可知MC=ME，所以M到A、C的距離之和MA+MC=MA+ME，又MA+ME大于等于AE，所以當MA+ME=AE時，M到A、C的距離之和最小，此時A、M、E成一條直線，M點是直線AE與在x軸的交點.

所以設直線AE的解析式為，把A（4，8）和E（2，-4）代入得：

，

解得： ,

所以直線AE的解析式為，令得,

所以點M的坐標為（，0）.