Question

【題目】（情境）某課外興趣小組在一次折紙活動課中．折疊一張帶有條格的長方形的紙片ABCD（如圖1），將點B分別與點A，A1，A2，…，D重合，然后用筆分別描出每條折痕與對應條格線所在的直線的交點，用平滑的曲線順次連結各交點，得到一條曲線．

圖1 圖2 圖3

（探索）（1）如圖2，在平面直角坐標系xOy中，將矩形紙片ABCD的頂點B與原點O重合，BC邊放在x軸的正半軸上，AB邊放在y軸的正半軸上，AB=m，AD=n，（m≤n）．將紙片折疊，使點B落在邊AD上的點E處，過點E作EQ⊥BC于點Q，折痕MN所在直線與直線EQ相交于點P，連結OP．求證：四邊形OMEP是菱形；

（歸納）（2）設點P坐標是（x，y），求y與x的函數關系式（用含m的代數式表示）．

（運用）（3）將矩形紙片ABCD如圖3放置，AB=8，AD=12，將紙片折疊，當點B與點D重合時，折痕與DC的延長線交于點F．試問在這條折疊曲線上是否存在點K，使得△KCF的面積是△KOC面積的？若存在，寫出點K的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）y= （3）點K（2+2，）

【解析】(1)、如果四邊形的四邊相等，那么這個四邊形是菱形；(2)、根據P點的坐標，可表示出E點的坐標，從而可知道OP的長，用勾股定理表示出解析式；(3)、首先畫出圖形，作KG⊥DC于G，KH⊥OC于H．設K（x，y），根據面積的關系得出y=，將點K的坐標代入二次函數解析式，從而得出x的值，得出點K的坐標．

(1)、證明：如圖3，由題意知：OM=ME，∠OMN=∠EMN， ∵OM∥EP，∴∠OMN=∠MPE．

∴∠EMN=∠MPE． ∴ME=EP．∴OM=EP． ∴四邊形OMEP是平行四邊形．

又∵ME=EP，∴四邊形OMEP是菱形；

(2)、解：∵四邊形OMEP是菱形， ∴OP=PE，∴OP2=PE2， ∵EQ=OA=m，PQ=y，

∴PE=m﹣y．∴PE2=（m﹣y）2=m2﹣2my+y2．

∵OP2=x2+y2，PE2=m2﹣2my+y2， ∴x2+y2=m2﹣2my+y2． ∴y=；

(3)、解：如圖3，假設折疊曲線上存在點K滿足條件．

當m=8時，y=﹣x2+4． 作KG⊥DC于G，KH⊥OC于H．設K（x，y），

則KG=12﹣x，KH=y． 當x=12時，y=﹣5． ∴F（12，﹣5）， ∴CF=5．

∴S△KCF=CF×KG=×5×（12﹣x）， S△KOC=CO×KH=×12y， ∵S△KCF= S△KOC，

∴0.5×5·（12-x）=××12·y ∴y=． ∴K（x，）．

∵點K在y=﹣x2+4上， ∴=﹣x2+4． 化簡得：x2﹣4x﹣16=0，

解得：x1=2+2，x2=2﹣2（舍去）， 當x1=2+2時，y=，

∴存在點K（2+2，）．