Question

如圖，在半徑為r的半圓⊙O中，半徑OA⊥直徑BC，點E、F分別在弦AB、AC上滑動并保持AE=CF，但點F不與A、C重合，點E不與A、B重合．
（1）求證：S_{四邊形AEOF}=

1

2

r²；
（2）設AE=x，S_△OEF=y，寫出y與x之間的函數關系式及自變量x的范圍；
（3）當S_△OEF=

5

18

S_△ABC時，求點E、F分別在AB、AC上的位置及EF的長．

Answer 1

分析：（1）先證△AOE≌△COF，可知四邊形AEOF的面積=△AOC的面積=

1

2

r²；
（2）利用S_△OEF=S_{四邊形AEOF}-S_△AEF，可求得y=

1

2

x²-

2

2

rx+

1

2

r²（0＜x＜

2

r）；
（3）當S_△OEF=

5

18

S_△ABC時，y=

5

18

r²，即

1

2

x²-

2

2

rx+

1

2

r²=

5

18

r²，解得x₁=

2

3

r，x2=

2 2

3

r，根據直角三角形邊長之間的關系可知EF=

10

3

r．

解答：（1）證明：∵OA=OC，AE=CF，∠EAO=∠C=45°
∴△AOE≌△COF，
∴四邊形AEOF的面積=△AOC的面積=

1

2

r²．

（2）解：∵S_△OEF=S_{四邊形AEOF}-S_△AEF=

1

2

r²-

1

2

（

2

r-x）•x=

1

2

x²-

2

2

rx+

1

2

r²，
∴y=

1

2

x²-

2

2

rx+

1

2

r²（0＜x＜

2

r）

（3）解：當S_△OEF=

5

18

S_△ABC時，y=

5

18

r²
∴

1

2

x²-

2

2

rx+

1

2

r²=

5

18

r²
∴x₁=

2

3

r，x2=

2 2

3

r，
∴

AE

AB

=

1

3

，

AF

AC

=

2

3

或

AE

AB

=

2

3

，

AF

AC

=

1

3

即AE=

1

3

AB，AF=

2

3

AC或AE=

2

3

AB，AF=

1

3

AC．
∴EF=

10

3

r．

點評：本題考查二次函數的綜合應用，其中涉及到的知識點有三角形全等的證明，用含x的式子表示線段的長度并根據幾何圖形的性質表示出面積之間的關系以及直角三角形和一元二次方程的實際運用等．要熟練掌握才能靈活運用．