Question

【題目】如圖，在矩形ABCD和矩形PEFG中，AB=8，BC=6，PE=2，PG=4．PE與AC交于點M，EF與AC交于點N，動點P從點A出發沿AB以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動，伴隨點P的運動，矩形PEFG在射線AB上滑動；動點K從點P出發沿折線PE﹣﹣EF以每秒1個單位長的速度勻速運動．點P、K同時開始運動，當點K到達點F時停止運動，點P也隨之停止．設點P、K運動的時間是t秒（t＞0）．
（1）當t=1時，KE= ， EN=；
（2）當t為何值時，△APM的面積與△MNE的面積相等？
（3）當點K到達點N時，求出t的值；

Answer 1

【答案】
（1）1；
（2）解：由（1）并結合題意可得，

AP=t，PM= t，ME=2﹣ t，NE= ﹣t，

∴ t× t= （2﹣ t）×（ ﹣t），

解得，t= ；

（3）解：當點K到達點N時，則PE+NE=AP，

由（2）得， ﹣t+2=t，

解得，t= ；（4）當t為何值時，△PKB是直角三角形？

解：①當K在PE邊上任意一點時△PKB是直角三角形，

即，0＜t≤2；

②當點k在EF上時，

則KE=t﹣2，BP=8﹣t，

∵△BPK∽△PKE，

∴PK2=BP×KE，PK2=PE2+KE2，

∴4+（t﹣2）2=（8﹣t）（t﹣2），

解得t=3，t=4；

③當t=5時，點K在BC邊上，∠KBP=90°．

綜上，當0＜t≤2或t=3或t=4或5時，△PKB是直角三角形．

【解析】解：（1）當t=1時，根據題意得，AP=1，PK=1， ∵PE=2，
∴KE=2﹣1=1，
∵四邊形ABCD和PEFG都是矩形，
∴△APM∽△ABC，△APM∽△NEM，
∴ = ， = ，
∴MP= ，ME= ，
∴NE= ；
故答案為：1； ；
（1）利用△APM∽△ABC求出PM，然后求出ME，再利用△APM∽△NEM，就可以求出EN．（2）△APM的面積與△MNE的面積相等，且兩個三角形相似，所以，只有兩三角形全等面積就相等，表示出三角形的面積，從而求出t值．（3）（1）已經求出EN的值，根據EN+PE=AP的值，解出t即可．（4）是直角三角形有兩種情況，K在PE邊上任意一點時△PKB是直角三角形，在FE上的一點時也是直角三角形．利用三角形相似求出t的值．