Question

【題目】已知a≥2，m2﹣2am+2=0，n2﹣2an+2=0，則（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值是（　　）
A.6
B.3
C.﹣3
D.0

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵m2﹣2am+2=0，n2﹣2an+2=0，
∴m，n是關(guān)于x的方程x2﹣2ax+2=0的兩個(gè)根，
∴m+n=2a，mn=2，
∴（m﹣1）2+（n﹣1）2=m2﹣2m+1+n2﹣2n+1=（m+n）2﹣2mn﹣2（m+n）+2=4a2﹣4﹣4a+2=4（a﹣ ）2﹣3，
∵a≥2，
∴當(dāng)a=2時(shí)，（m﹣1）2+（n﹣1）2有最小值，
∴（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值=4（a﹣ ）2+3=4（2﹣ ）2﹣3=6，
故選A．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的根與系數(shù)的關(guān)系和二次函數(shù)的最值，需要了解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數(shù)a、b、c而定；兩根之和等于方程的一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商；如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值），即當(dāng)x=-b/2a時(shí)，y最值=(4ac-b2)/4a才能得出正確答案．