Question

【題目】如圖，在△ABC中，已知AB=AC=10cm，BC=16cm，AD⊥BC于D，點E、F分別從B、C兩點同時出發(fā)，其中點E沿BC向終點C運動，速度為4cm/s；點F沿CA、AB向終點B運動，速度為5cm/s，設它們運動的時間為x（s）．

（1）求x為何值時，△EFC和△ACD相似；

（2）是否存在某一時刻，使得△EFD被 AD分得的兩部分面積之比為3:5，若存在，求出x的值，若不存在，請說明理由；

（3）若以EF為直徑的圓與線段AC只有一個公共點，求出相應x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）

（2）不存在.

（3）

【解析】分析：（1）點F在AC上，點E在BD上時，①當時，△CFE∽△CDA，②當時，分別列出方程求解即可；

（2）不存在．分兩種情形說明：如圖2中，當點F在AC上，點E在BD上時，作FH⊥BC于H，EF交AD于N．只要證明EN=FN即可解決問題；

（3）分四種情形①如圖3中，當以EF為直徑的⊙O經(jīng)過點A時，⊙O與線段AC有兩個交點，連接AE，則∠EAF=90°．②如圖4中，當⊙O與AC相切時，滿足條件，此時t=．③如圖5中，當⊙O與AB相切時，④如圖6中，⊙O經(jīng)過點A時，連接AE，則∠EAF=90°．分別求解即可.

詳解：（1）如圖1中，

點F在AC上，點E在BD上時，①當時，△CFE∽△CDA，

∴=，

∴t=，

②當時，即=，

∴t=2，

當點F在AB上，點E在CD上時，不存在△EFC和△ACD相似，

綜上所述，t=s或2s時，△EFC和△ACD相似．

（2）不存在．

理由：如圖2中，當點F在AC上，點E在BD上時，作FH⊥BC于H，EF交AD于N．

∵CF=5t．BE=4t，

∴CH=CFcosC=4t，

∴BE=CH，

∵AB=AC，AD⊥BC，

∴BD=DC，

∴DE=DH，

∵DN∥FH，

∴=1，

∴EN=FN，

∴S△END=S△FND，

∴△EFD被 AD分得的兩部分面積相等，

同法可證當點F在AB上，點E在CD上時，△EFD被 AD分得的兩部分面積相等，

∴不存在某一時刻，使得△EFD被 AD分得的兩部分面積之比為3：5．

（3）①如圖3中，當以EF為直徑的⊙O經(jīng)過點A時，⊙O與線段AC有兩個交點，連接AE，則∠EAF=90°．

由=cosC=，可得=，

∴t=，

∴0≤t＜時，⊙O與線段AC只有一個交點．

②如圖4中，當⊙O與AC相切時，滿足條件，此時t=．

③如圖5中，當⊙O與AB相切時，cosB=，即=，解得t=．

④如圖6中，⊙O經(jīng)過點A時，連接AE，則∠EAF=90°．

由cosB==，即=，t=，

∴＜t≤4時，⊙O與線段AC只有一個交點．

綜上所述，當⊙O與線段AC只有一個交點時，0≤t＜或或或＜t≤4．