Question

【題目】如圖，已知拋物線經過點A(-3，0)，C(0，3)，交x軸于另一點B，其頂點為D．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P為拋物線上一點，直線CP交x軸于點E，若△CAE與△OCD相似，求P點坐標；

（3）如果點F在y軸上，點M在直線AC上，那么在拋物線上是否存在點N，使得以C，F，M，N為頂點的四邊形是菱形？若存在，請求出菱形的周長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）P或；（3）存在菱形，其周長為，或．

【解析】

（1）將A，C兩點坐標代入中求出b，c即可得解；

（2）根據題意進行分類討論，兩種情況，，從而求出E點坐標及CE解析式即可求出點P坐標；

（3）根據題意，分類討論，兩種情況CF為對角線，CF為菱形的一邊，進而即可求得菱形的周長.

（1）∵拋物線經過點，

∴，解得

此拋物線解析式為：；

（2）∵

∴頂點

∵，，

∴，，，

∴點E只能在A點左邊

①如下圖，若

則

∴

∴

∴

∵

∴

聯立

∴，（舍去）

∴；

②若

則

∴AE=2

∴

∴

∵

∴

聯立

∴，（舍去）

得

因此，或；

（3）在拋物線上存在點N，使得以C，F，M，N為頂點的四邊形是菱形

①若CF為對角線，則CF與NM互相垂直平分時，四邊形CNFM為菱形

∵

∴

∴，四邊形CNFM為正方形

∴N點與頂點D重合

∵

∴，

∴菱形CNFM的周長為；

②若CF為菱形的一邊，則，，NM=NF時，四邊形CNFM為菱形

過F作FH⊥NM于H，設直線NM交x軸于G，

則,

∴NM===NF

∵，

∴

∴NF=FH

又FH=OG=

∴=

∴ 或

∴NF=或NF=菱形周長為或

因此，存在菱形，其周長為，或.