Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線交AC于點D．作∠BDE=∠ABD交AB于點E．

（1）求證：ED∥BC；

（2）點M為射線AC上一點（不與點A重合）連接BM，∠ABM的平分線交射線ED于點N．若∠MBC=∠NBC，∠BED=105°，求∠ENB的度數．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）∠ENB的度數為50°或30°．

【解析】

（1）利用角平分線的定義，進行等量代換，得出內錯角相等，從而兩直線平行；

（2）分兩種情況分別進行解答，根據每一種情況畫出相應的圖形，依據圖形中，角之間的相互關系，轉化到一個三角形中，利用三角形的內角和定理，設未知數，列方程求解即可．

（1）∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC，

又∵∠BDE=∠ABD，

∴∠BDE=∠DBC，

∴ED∥BC；

（2）∵BN平分∠ABM，

∴∠ABN=∠NBM，

①當點M在線段AC上時，如圖1所示：

∵DE∥BC，

∴∠ENB=∠NBC，

∵∠MBC=∠NBC，

∴∠NBM=∠MBC=∠NBC，

設∠MBC=x°，則∠EBN=∠NBM=x°，∠ENB=∠NBC=2x°，

在△ENB中，由內角和定理得：x+2x+105°=180°，

解得：x=25，

∴∠ENB=2x=50°，

②當點M在AC的延長線上時，如圖2所示：

∵DE∥BC，

∴∠ENB=∠NBC，

∵∠MBC=∠NBC，

∴∠NBM=3∠MBC，

設∠MBC=x°，則∠EBN=∠NBM=3x°，∠ENB=∠NBC=2x°，

在△EMB中，由內角和定理得：3x+2x+105°=180°，

解得：x=15，

∴∠ENB=2x=30°，

答：∠ENB的度數為50°或30°．