Question

）如圖所示，在⊙O中，，弦AB與弦AC交于點A，弦CD與AB交于點F，連 接BC．
（1）求證：AC²=AB•AF；
（2）若⊙O的半徑長為2cm，∠B=60°，求圖中陰影部分面積．

Answer 1

(1)證明見解析；（2）cm²．

試題分析：（1）由 ，利用等弧所對的圓周角相等得到一對角相等，再由一對公共角相等，利用兩對對應角相等的兩三角形相似可得出△ACF與△ABC相似，根據相似得比例可得證；
（2）連接OA，OC，利用同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍，由∠B為60°，求出∠AOC為120°，過O作OE垂直于AC，垂足為點E，由OA=OC，利用三線合一得到OE為角平分線，可得出∠AOE為60°，在Rt△AOE中，由OA及cos60°的值，利用銳角三角函數定義求出OE的長，在Rt△AOE中，利用勾股定理求出AE的長，進而求出AC的長，由扇形AOC的面積-△AOC的面積表示出陰影部分的面積，利用扇形的面積公式及三角形的面積公式即可求出陰影部分的面積．
（1）證明：∵，
∴∠ACD=∠ABC，又∠BAC=∠CAF，
∴△ACF∽△ABC，
∴，即AC²=AB•AF；
（2）解：連接OA，OC，過O作OE⊥AC，垂足為點E，

∵∠ABC=60°，
∴∠AOC=120°，
又OA=OC，  
∴∠AOE=∠COE=×120°=60°，
在Rt△AOE中，OA=2cm，
∴OE=OAcos60°=1cm，
∴AE=cm，
∴AC=2AE=2cm，
則S_陰影=S_扇形OAC﹣S_△AOC=cm²．