Question

【題目】如圖，為的直徑，點為延長線上的一點，過點作的切線，切點為，過兩點分別作的垂線，垂足分別為，連接．

求證：（1）平分；

（2）若，求的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）連接OM，可證OM∥AC，得出∠CAM=∠AMO，由OA=OM可得∠OAM=∠AMO，從而可得出結果；

（2）先求出∠MOP的度數，OB的長度，則用弧長公式可求出的長．

解：（1）連接OM，

∵PE為⊙O的切線，∴OM⊥PC，

∵AC⊥PC，∴OM∥AC，

∴∠CAM=∠AMO，

∵OA=OM，∠OAM=∠AMO，

∴∠CAM=∠OAM，即AM平分∠CAB；

（2）∵∠APE=30°，

∴∠MOP=∠OMP﹣∠APE=90°﹣30°=60°，

∵AB=4，∴OB=2，

∴的長為．