Question

【題目】在平面直角坐標系中，我們不妨把橫坐標和縱坐標相等的點叫“相等點”，例如點，都是“相等點”，顯然“相等點”有無數個．

（1）若點是反比例函數為常數，)的圖象上的“相等點”，求這個反比例函數的解析式；

（2）一次函數為常數，)的圖象上存在“相等點”嗎？若存在，請用含的式子表示出“相等點”的坐標，若不存在，說明理由；

（3）若二次函數為常數)的圖象上有且只有一個“相等點”，令當時，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時不存在，當時存在．理由見解析；當時，函數的圖象上的“相等點”是；（3）的取值范圍是．

【解析】

（1）根據相等點的定義求得的值，再用待定系數法求得解析式；

（2）設是一次函數為常數，的圖象上的“相等點”，代入解析式求得便可；

（3）若二次函數，為常數）的圖象上有且只有一個“相等點”，則二次函數與直線有且只有一個交點，由此得一元二次方程的有且只有2個相等的實數根，由此列出和的關系式，進而根據的取值范圍求得的取值范圍，再求的取值范圍便可．

解：（1）點是反比例函數為常數，的圖象上的“相等點”，

，

，

把代入中，得，

反比例的解析式為；

（2）設是一次函數為常數，的圖象上的“相等點”，則

，

，

當，即時，方程無解，則此時一次函數為常數，的圖象上不存在“相等點”，

當，即時，得，則此時一次函數為常數，的圖象上的“相等點”是，，

故當時，一次函數為常數，的圖象上不存在“相等點”；當時，一次函數為常數，的圖象上的“相等點”是，．

（3）二次函數，為常數）的圖象上有且只有一個“相等點”，

只有一個解，

，即有兩個相等的實數根，

△，

，

，

，，

，，

，

．