Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2-2ax+b經過點C（0，-），且與x軸交于點A、點B，若tanACO=．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）若拋物線的頂點為M，點P是線段OB上一動點（不與點B重合），MPQ=45，射線PQ與線段BM交于點Q，當△MPQ為等腰三角形時，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=x2-x-（2）當△MPQ為等腰三角形時，點P的坐標為(1，0)或(3-,0).

【解析】

（1）根據拋物線y=ax2-2ax+b經過點C（0，-），求出b=-，再根據tan∠ACO=，求出點A的坐標，再利用待定系數法即可得出此拋物線的解析式；

（2）由y=x2-x-=(x-1)2-2，可得M(-1,-2)，令y=x2-x-=0，得x1=-1,x2=3，從而可得B(3,0)，如圖，作MH⊥OB于點H，則MH=BH=2，可推導得出△MPQ∽△MBP，從而可得當△MPQ為等腰三角形時，△MBP也為等腰三角形，然后分情況進行討論即可得.

（1）∵C（0，），∴OC=.

∵tanACO=，∴OA=1.∴A(-1，0).

∵點A,C在拋物線y=ax2-2ax+b上，

∴，解得，

∴此拋物線的解析式為y=x2-x-；

（2）∵y=x2-x-=(x-1)2-2，∴M(-1,-2)，

令y=x2-x-=0，得x1=-1,x2=3，∴B(3,0)，

如圖，作MH⊥OB于點H，則MH=BH=2，

∴∠MBO=45=∠MBP，

又∵∠PMQ=∠BMP，∴△MPQ∽△MBP，

∴當△MPQ為等腰三角形時，△MBP也為等腰三角形，

①當MQ=PQ時，PM=BP，∠BMP=∠MBP=45，∠MPB=90，

∴點P與點H重合，即P(1，0)；

②當MQ=MP時，MP=MB，∠MPB=45，∠BMP=90，

∴PH=BH=2，即P(-1，0)（舍去）；

③當MP=PQ時，BP=BM=，

∴P(3-,0)，

綜上所述，當△MPQ為等腰三角形時，點P的坐標為(1，0)或(3-,0).