Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，B（3，0），△AOB是等邊三角形，動點P從點B出發以每秒1個單位長度的速度沿BO勻速運動，動點Q同時從點A出發以同樣的速度沿OA延長線方向勻速運動，當點P到達點O時，點P，Q同時停止運動．過點P作PE⊥AB于E，連接PQ交AB于D．設運動時間為t秒，得出下面三個結論，① 當t =1時，△OPQ為直角三角形；② 當t =2時，以AQ，AE為邊的平行四邊形的第四個頂點在∠AOB的平分線上；③ 當t為任意值時，．所有正確結論的序號是________．

Answer 1

【答案】①③

【解析】

由題意根據等邊三角形的性質和判定，全等三角形的判定和性質，直角三角形的判定，平行四邊形的性質，菱形的判定和性質進行綜合分析判斷即可.

解：①如圖1中，取OQ的中點H，連接PH．

∵t=1，

∴AQ=PB=1，

∵B（3，0），

∴OB=3，

∵△AOB是等邊三角形，

∴OA=OB=AB=3，

∴OQ=4，

∵，

∴OH=OP=2，

∵∠HOP=60°，

∴△HOP是等邊三角形，

∴PH=OH=HQ，

∴，

∴△OPQ是直角三角形．故①正確，

②當t=2時，如圖2中，

由題意PB=AQ=2，

∵PE⊥AB，

∴∠PEB=90°，

∵∠PBE=60°，

∴，

∴AE=AB-BE=3-1=2，

∴AE=AQ=2，

∵四邊形AEMQ是平行四邊形，AQ=AE，

∴四邊形AEMQ是菱形，

∵∠QAE=120°，

∴∠MAE=∠MAQ=60°，

∴△MAE是等邊三角形，

∴MA=ME＜BM，

∴點M不在AB的垂直平分線上，

∴點M不在∠AOB的角平分線上，故②錯誤，

③如圖3中，作PM∥OA交AB于M．

∵PM∥OA，

∴∠BMP=∠BAO=60°，∠BPM=∠AOB=60°，

∴△PMB是等邊三角形，

∴PB=PM=AQ，

∵PE⊥BM，

∴EM=BM，

∵∠AQD=∠MPD，∠ADQ=∠MQP，AQ=PM，

∴△ADQ≌△MDP（AAS），

∴AD=DM，

∴，故③正確.

故答案為：①③．