Question

如圖，⊙O的半徑為1，點P是⊙O上一點，弦AB垂直平分線段OP，點D是弧

APB

上任一點（與端點A、B不重合），DE⊥AB于點E，以點D為圓心、DE長為半徑作⊙D，分別過點A、B作⊙D的切線，兩條切線相交于點C．
①求∠ACB的度數為

 

；
②記△ABC的面積為S，若

S

DE2

=4

3

，則⊙D的半徑為

 

．

Answer 1

分析：①根據切線的判定定理得出AB與⊙D相切于E點，進而得出⊙D是△ABC的內切圓，根據OM=

1

2

OP=0.5，得出∠MOB=60°，進而得出∠ACB的度數；
②根據S_△ABC=S_△ADC+S_△ADB+S_△BDC，得出△ABC的面積為S=

1

2

（AB+AN+CN+BC）×DE，由切線長定理以及DE=DN=

1

2

CD，
得出CN=

3

DE，再利用已知求出⊙D的半徑．

解答：解：①連接AD，BD，OA，OB，
∵DE⊥AB于點E，點D為圓心、DE長為半徑作⊙D，
∴AB與⊙D相切于E點，
又∵過點A、B作⊙D的切線，
∴⊙D是△ABC的內切圓，
∵⊙O的半徑為1，
∴OP=1，
∵弦AB垂直平分線段OP，
∴OM=

1

2

OP=0.5，
∴MO=

1

2

OB，
∴∠MOB=60°，同理可得：∠AOB=120°，
∴∠DAB+∠DBA=

1

2

（∠CAB+∠CBA）=60°，
∴∠ACB的度數為60°，
故答案為：60°；

②∵OM=

1

2

OP=0.5，
∴BM=

3

2

，AB=

3

，
∵AE=AN，BE=BQ，
∴△ABC的面積為S=

1

2

（AB+AN+CN+BC）×DE=

1

2

（2

3

+2CN）×DE，
∵△ABC的面積為S，

S

DE2

=4

3

，
∴

1 2 (2 3 +2CN)×DE

DE2

=4

3

，
∵DE=DN=

1

2

CD，
∴CN=

3

DE，
∴

2 3 +2 3 DE

2DE

=4

3

，
解得：DE=

1

3

，
則⊙D的半徑為：

1

3

，
故答案為：

1

3

．

點評：此題主要考查了三角形內切圓性質與圓周角定理和垂徑定理等知識，題目綜合性較強，得出S_△ABC=S_△ADC+S_△ADB+S_△BDC是解決問題的關鍵．