Question

拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)C(1,4),交x軸于點(diǎn)A(3,0)，交y軸于點(diǎn)B.
(1)求此拋物線的解析式；
(2)拋物線上是否存在點(diǎn)P,使,若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

(1)y=-x²+2x+3；(2) P坐標(biāo)為（,）、（,）；（,）；
（,）．

試題分析：（1）設(shè)出拋物線的頂點(diǎn)形式為y=a（x-1）²+4，將A坐標(biāo)代入求出a的值，即可確定出拋物線解析式；
（2）存在，設(shè)出P（a，-a²+2a+3），直線AB解析式為y=kx+b，將A與B坐標(biāo)代入求出k與b的值，確定出直線AB解析式，根據(jù)三角形ABP面積為三角形ABC面積的一半，由兩三角形都以AB為底邊，得到C到直線AB的距離為P到直線AB距離的2倍，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于a的方程，求出方程的解得到a的值，即可確定出滿足題意P的坐標(biāo)．
試題解析：（1）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)形式為y=a（x-1）²+4，
將A（3，0）代入得：0=4a+4，即a=-1，
則拋物線解析式為y=-（x-1）²+4=-x²+2x+3；
（2）存在這樣的P點(diǎn)，
設(shè)P（a，-a²+2a+3），
設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，
將A（3，0），B（0，3）代入得：
，
解得：，
∴直線AB解析式為y=-x+3，
∵S_△ABP=S_△ABC，且兩三角形都以AB為底邊，
∴P到直線AB的距離等于C到直線AB距離的，
∵C（1，4）到直線AB的距離d=，
∴P到直線AB的距離d=，
即|-a²+3a|=1，
整理得：a²-3a-1=0或a²-3a+1=0，
解得：a=或a=
當(dāng)a=時(shí)，-a²+2a+3=-；
當(dāng)a=時(shí)，-a²+2a+3=-；
當(dāng)a=時(shí)，-a²+2a+3=-；
當(dāng)a=時(shí)，-a²+2a+3=-.
則滿足題意的P坐標(biāo)為（,）、（,）；（,）；
（,）．
考點(diǎn): 1.待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；2.二次函數(shù)的性質(zhì)．