Question

如圖，△ABC是邊長為5的等邊三角形，將△ABC繞點C順時針旋轉120°，得到△EDC,連接BD，交AC于F.

（1）猜想AC與BD的位置關系，并證明你的結論；
（2）求線段BD的長.

Answer 1

（1）證明四邊形ABCD為菱形，從而得AC與BD互相垂直平分 （2）5

試題分析：（1）AC與BD互相垂直平分.
證明：連接AD，由題意知，△ABC≌△EDC，∠ACE=120°，
又∵△ABC是等邊三角形，∴AB=DC=BC=DE=5，∠ABC=∠ACB=∠DCE=∠E=60°，
∴∠ACE+∠ACB=120°+60°=180°，∴B、C、E三點在一條直線上.
∴AB∥DC，∴四邊形ABCD為菱形，∴AC與BD互相垂直平分.    
（2）由（1）知，四邊形ABCD為菱形，∴∠DBE=∠ABC=30°，
∵∠DBE+∠BDE+∠E=180°，∴∠BDE=90°. 
∵ B、C、E三點在一條直線上，∴BE=10，
∴ BD===5
點評：本題考查菱形和勾股定理，掌握菱形的判定方法和菱形的性質是解本題的關鍵，熟悉勾股定理的內容