Question

【題目】綜合題。
（1）如圖1，已知∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC=6，CD=CE，AE=3，∠CAE=45°，求AD的長．
（2）如圖2，已知∠ACB=∠DCE=90°，∠ABC=∠CED=∠CAE=30°，AC=3，AE=8，求AD的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1，連接BE，

∵∠ACB=∠DCE=90°，

∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，

又∵AC=BC，DC=EC，

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE，

∴AD=BE，

∵AC=BC=6，

∴AB=6 ，

∵∠BAC=∠CAE=45°，

∴∠BAE=90°，

在Rt△BAE中，AB=6 ，AE=3，

∴BE=9，

∴AD=9；

（2）解：如圖2，連接BE，

在Rt△ACB中，∠ABC=∠CED=30°，

tan30°= = ，

∵∠ACB=∠DCE=90°，

∴∠BCE=∠ACD，

∴△ACD∽△BCE，

∴ = = ，

∵∠BAC=60°，∠CAE=30°，

∴∠BAE=90°，又AB=6，AE=8，

∴BE=10，

∴AD= ．

【解析】（1）連接BE，證明△ACD≌△BCE，得到AD=BE，在Rt△BAE中，AB=6 ，AE=3，求出BE，得到答案；（2）連接BE，證明△ACD∽△BCE，得到 = = ，求出BE的長，得到AD的長．
【考點精析】關于本題考查的勾股定理的概念和相似三角形的判定與性質，需要了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能得出正確答案．