Question

如圖，已知矩形OABC的一個頂點B的坐標是（4，2），反比例函數y=（x＞0）的圖象經過矩形的對稱中心E，且與邊BC交于點    D．
（1）求反比例函數的解析式和點D的坐標；
（2）若過點D的直線y=mx+n將矩形OABC的面積分成3：5的兩部分，求此直線的解析式．

Answer 1

（1）反比例函數解析式為y=，點D的坐標為（1，2）；
（2）直線的解析式為y=﹣2x+4或y=﹣x+．

解析試題分析：（1）根據中心對稱求出點E的坐標，再代入反比例函數解析式求出k，然后根據點D的縱坐標與點B的縱坐標相等代入求解即可得到點D的坐標；
（2）設直線與x軸的交點為F，根據點D的坐標求出CD，再根據梯形的面積分兩種情況求出OF的長，然后寫出點F的坐標，再利用待定系數法求一次函數解析式求出直線解析式即可．
試題解析：（1）∵矩形OABC的頂點B的坐標是（4，2），E是矩形ABCD的對稱中心，
∴點E的坐標為（2，1），
代入反比例函數解析式得，=1，
解得k=2，
∴反比例函數解析式為y=，
∵點D在邊BC上，
∴點D的縱坐標為2，
∴y=2時，=2，
解得x=1，
∴點D的坐標為（1，2）；
（2）如圖，

設直線與x軸的交點為F，
矩形OABC的面積=4×2=8，
∵矩形OABC的面積分成3：5的兩部分，
∴梯形OFDC的面積為×8=3，
或×8=5，
∵點D的坐標為（1，2），
∴若（1+OF）×2=3，
解得OF=2，
此時點F的坐標為（2，0），
若（1+OF）×2=5，
解得OF=4，
此時點F的坐標為（4，0），與點A重合，
當D（1，2），F（2，0）時，，
解得，
此時，直線解析式為y=﹣2x+4，
當D（1，2），F（4，0）時，，
解得，
此時，直線解析式為y=﹣x+，
綜上所述，直線的解析式為y=﹣2x+4或y=﹣x+．
考點：1.矩形的性質2.待定系數法求一次函數解析式3.待定系數法求反比例函數解析式．