Question

【題目】如圖（1），菱形ABCD對角線AC、BD的交點O是四邊形EFGH對角線FH的中點，四個頂點A、B、C、D分別在四邊形EFGH的邊EF、FG、GH、HE上．

（1）求證：四邊形EFGH是平行四邊形；

（2）如圖（2）若四邊形EFGH是矩形，當AC與FH重合時，已知，且菱形ABCD的面積是20，求矩形EFGH的長與寬．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）矩形EFGH的長為8，寬為4．

【解析】

試題分析：（1）根據菱形的性質可得出OA=OC，OD=OB，再由中點的性質可得出OF=OH，結合對頂角相等即可利用全等三角形的判定定理（SAS）證出△AOF≌△COH，從而得出AF∥CH，同理可得出DH∥BF，依據平行四邊形的判定定理即可證出結論；

（2）設矩形EFGH的長為a、寬為b．根據勾股定理及邊之間的關系可找出AC=，BD=，利用菱形的性質、矩形的性質可得出∠AOB=∠AGH=90°，從而可證出△BAO∽△CAG，根據相似三角形的性質可得出，套入數據即可得出a=2b①，再根據菱形的面積公式得出②，聯立①②解方程組即可得出結論．

試題解析：（1）證明：∵點O是菱形ABCD對角線AC、BD的交點，∴OA=OC，OD=OB，∵點O是線段FH的中點，∴OF=OH．在△AOF和△COH中，∵OA=OC，∠AOF=∠COH，OF=OH，∴△AOF≌△COH（SAS），∴∠AFO=∠CHO，∴AF∥CH．

同理可得：DH∥BF，∴四邊形EFGH是平行四邊形．

（2）設矩形EFGH的長為a、寬為b，則AC=．

∵=2，∴BD=AC=，OB=BD=，OA=AC=．

∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOB=90°．

∵四邊形EFGH是矩形，∴∠AGH=90°，∴∠AOB=∠AGH=90°，又∵∠BAO=∠CAG，∴△BAO∽△CAG，∴，即，解得：a=2b①．

∵S菱形ABCD=ACBD==20，∴②．

聯立①②得：，解得：，或（舍去），∴矩形EFGH的長為8，寬為4．