Question

如圖，以△ABC的三邊為邊在BC的同一側分別作三個等邊三角形，即△ABD、△BCE、△ACF

（1）證明四邊形ADEF是平行四邊形．
（2）當△ABC滿足條件______時，四邊形ADEF為矩形．
（3）當△ABC滿足條件______時，四邊形ADEF不存在．
（4）當△ABC滿足條件______時，四邊形ADEF為菱形．

Answer 1

證明：（1）∵△ABD，△BCE都是等邊三角形，
∴∠DBE=∠ABC=60°-∠ABE，AB=BD，BC=BE．
在△ABC和△DBE中

AB=BD ∠ABC=∠DBE BC=BE

，
∴△ABC≌△DBE（SAS）．
∴DE=AC．
又∵AC=AF，
∴DE=AF．
同理可得EF=AD．
∴四邊形ADEF是平行四邊形．

（2）∵四邊形ADEF是平行四邊形，
∴當∠DAF=90°時，四邊形ADEF是矩形，
∴∠FAD=90°．
∴∠BAC=360°-∠DAF-∠DAB-∠FAC=360°-90°-60°-60°=150°．
則當∠BAC=150°時，四邊形ADEF是矩形；
故答案為：∠BAC=150°；

（3）當∠BAC=60°時，∠DAF=180°，
此時D、A、F三點在同一條直線上，以A，D，E，F為頂點的四邊形就不存在；
故答案為：∠BAC=60°；

（4）當AB=AC且∠BAC≠60°時，四邊形ADEF是菱形，
理由是：由（1）知：AD=AB=EF，AC=DE=AF，
∵AC=AB，
∴AD=AF，
∵四邊形ADEF是平行四邊形，AD=AF，
∴平行四邊形ADEF是菱形．
故答案為：AB=AC且∠BAC≠60°（或AB=AC≠BC）．