Question

【題目】如圖，OA＝4，C是射線OA上一點，以O為圓心，OA的長為半徑作使∠AOB＝152°，P是上一點，OP與AB相交于點D，點P′與P關于直線OA對稱，連接CP，

嘗試：

（1）點P′在所在的圓　 　（填“內”“上”或“外”）；

（2）AB＝　 　．

發現：

（1）PD的最大值為　 　；

（2）當＝2π，∠OCP＝28時，判斷CP與所在圓的位置關系探究當點P′與AB的距離最大時，求AP的長．（注：sin76°＝cos14°＝）

Answer 1

【答案】嘗試：（1）上；（2）2；發現：（1）3；（2）2．

【解析】

嘗試：（1）根據圓的軸對稱性，即可得到結論；

（2）如圖1，延長AO交所在圓上的點E，連接BE，根據等腰三角形的性質得到∠BAO＝∠ABO＝14°，根據三角函數的定義即可得到結論；

發現：（1）當OP⊥AB時，PD有最大值，在Rt△AOD中解直角三角形即可得到結論；

（2）根據弧長公式求得∠BOP＝90°，根據切線的判定定理即可得到結論；

探究：作P′E⊥AB于點E，連接P′A，如圖2，此時OE⊥AB，求得AE＝AB＝，根據勾股定理得到OE＝＝1，AP′＝，根據軸對稱的性質即可得到AP＝AP′＝2．

嘗試：（1）∵點P′與P關于直線OA對稱，

∴點P′在所在的圓上，

故答案為：上；

（2）如圖1，延長AO交所在圓上的點E，

連接BE，則∠ABE＝90°，

∵∠AOB＝152°，OB＝OA，

∴∠BAO＝∠ABO＝14°

∵OA＝4，

∴AE＝2OA＝8，

∴AB＝AEcos14°＝8×＝2，

故答案為：2；

發現：（1）當OP⊥AB時，PD有最大值，

∵在Rt△AOD中， OA＝4，cos∠OAD＝，

∴AD＝，

∴OD＝＝1，

∴PD＝4﹣1＝3，

∴PD的最大值為3，

故答案為：3；

（2）相切，理由如下：

當＝2π時，＝2π，

解得：n＝90，

∴∠BOP＝90°，

∵∠AOB＝152°，

∴∠AOP＝62°，

∵∠OCP＝28°，

∴∠OPC＝90°，

∵OP為圓的半徑，

∴CP與所在圓相切；

探究：作P′E⊥AB于點E，

∵P′在所在圓上，

∴當P′E過圓心O時，P′E最大，

連接P′A，如圖2，此時OE⊥AB，AE＝AB＝，

∵OA＝4，

∴OE＝＝1，

∵OP′＝OP＝4，

∴P′E＝P′O+OE＝5，

∴AP′＝，

∵點P′與P關于直線OA對稱，

∴AP＝AP′＝2．