Question

【題目】已知△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，交AC于點E．

(1)當∠BAC為銳角時，如圖①，求證：∠CBE=∠BAC；

(2)當∠BAC為鈍角時，如圖②，CA的延長線與⊙O相交于點E，(1)中的結論是否仍然成立？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）成立，理由詳見解析.

【解析】

（1）連接AD，根據直徑所對的圓周角是直角，得AD⊥BC，又由AB=AC，根據等腰三角形的三線合一，得AD平分∠BAC，結合圓周角定理，即可得∠BAC=2∠CBE；
（2）連接AD．根據等腰三角形的三線合一和圓內接四邊形的性質，即可證明∠BAC=2∠CBE．

（1）證明：如圖①連結AD

∵AB是⊙O的直徑

∴AD⊥BC

∵AB=AC

∴∠CAD= ,

又∵BE⊥AC,

∴∠CAD=∠CBE,

∴∠CBE=;

（2）解：成立，理由如下：如圖②連結AD，

∵AB是⊙O的直徑,

∴AD⊥BC,

∵AB=AC,

∴∠CAD=,

∵∠CAD+∠EAD=180°，∠CBE+∠EAD=180°,

∠CAD=∠CBE,

∴∠CBE=.