Question

【題目】老師布置了一個作業，如下：已知：如圖1的對角線的垂直平分線交于點，交于點，交于點.求證：四邊形是菱形.

某同學寫出了如圖2所示的證明過程，老師說該同學的作業是錯誤的.請你解答下列問題：

（1）能找出該同學錯誤的原因嗎？請你指出來；

（2）請你給出本題的正確證明過程.

Answer 1

【答案】（1）能，見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）直接利用菱形的判定方法分析得出答案；
（2）直接利用全等三角形的判定與性質得出EO=FO，進而得出答案．

解：（1）能；該同學錯在AC和EF并不是互相平分的，EF垂直平分AC，但未證明AC垂直平分EF，

需要通過證明得出；

（2）證明： ∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC．

∴∠FAC＝∠ECA．

∵EF是AC的垂直平分線，

∴OA＝OC．

∵在△AOF與△COE中，

,

∴△AOF≌△COE（ASA）．

∴EO＝FO．

∴AC垂直平分EF．

∴EF與AC互相垂直平分．

∴四邊形AECF是菱形．