Question

【題目】（概念提出）如圖 ①，若正△DEF的三個頂點分別在正△ABC的邊AB、BC、AC上，則我們稱△DEF是正△ABC的內接正三角形．

（1）求證：△ADF≌△BED．

（問題解決）利用直尺和圓規作正三角形的內接正三角形(保留作圖痕跡，不寫作法)．

（2）如圖 ②，正△ABC的邊長為a，作正△ABC的內接正△DEF，使△DEF的邊長最短，并說明理由；

（3）如圖③，作正△ABC的內接正△DEF，使FD⊥AB．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）作圖見解析，理由見解析；（3）作圖見解析．

【解析】

概念提出：

（1）由等邊三角形的性質DF=DE，∠A=∠B=60°，由三角形內角和可得∠ADF=∠BED，即可證△ADF≌△BED；

問題解決：

（2）由S△DEF=，可知當S△DEF最小時，DF的長最小，設BD=x，則AD=BE=a-x，可得S△BED=BEDG= =-（x-）2+a2；然后根據二次函數的性質求解即可；

（3）作AB，AC的垂直平分線交點為O，連接AO，作AO的垂直平分線交AB于D，以O為圓心，OD為半徑作圓，交AC于點F，交BC于點E，即可求解．

證明（1）∵△ABC與△DEF都是正三角形，

∴∠A=∠B=60°，∠EDF=60°，DF=ED．

∵∠ADF+∠EDF=∠B+∠BED，

∴∠ADF=∠BED，且DF=DE，∠A=∠B=60°，

∴△ADF≌△BED；

問題解決：

（2）如圖所示：

理由：由（1）知△ADF≌△BED，

同理可證△BED≌△CEF，

∴△ADF≌△BED≌△CEF，

過點D作DG⊥BE，設BD=x，則AD=BE=a﹣x，DG=sinB×BDx，

S△BEDBEDG(a﹣x)·x(x)2a2；

∴當BD，即點D、E、F是各邊中點時，S△BED有最大值a2，

此時△ADF、△CEF的面積均為最大a2(正△ABC的四分之一)，

則內接正△DEF的面積最小，即邊長最短．

（3）如圖所示：