Question

【題目】如圖，△ABC中，∠ABC的角平分線與∠ACB的外角∠ACD的平分線交于A1．

（1）當(dāng)∠A為70°時，

∵∠ACD －∠ABD=∠____________

∴∠ACD －∠ABD=______________°

∵BA1、CA1是∠ABC的角平分線與∠ACB的外角∠ACD的平分線

∴∠A1CD －∠A1BD=（∠ACD－∠ABD）

∴∠A1=___________°；

（2）∠A1BC的角平分線與∠A1CD的角平分線交于A2，∠A2BC與A2CD的平分線交于A3，如此繼續(xù)下去可得A4、…、An，請寫出∠A與∠An 的數(shù)量關(guān)系____________；

（3）如圖2，四邊形ABCD中，∠F為∠ABC的角平分線及外角∠DCE的平分線所在的直線構(gòu)成的角，若∠A+∠D=230度，則∠F=　　．

（4）如圖3，若E為BA延長線上一動點，連EC，∠AEC與∠ACE的角平分線交于Q，當(dāng)E滑動時有下面兩個結(jié)論：①∠Q+∠A1的值為定值；②∠Q —∠A1的值為定值.

其中有且只有一個是正確的，請寫出正確的結(jié)論，并求出其值．

Answer 1

【答案】（1）∠A；70°；35°；

（2）∠A=2n∠An

（3）25°

（4）①∠Q+∠A1的值為定值正確，Q+∠A1=180°．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)填空即可；（2）根據(jù)（1）的計算可知∠A=2∠A1由此可知∠A=2n∠An；（3）延長BA、CD交于點M，由∠A+∠D=230°可得∠MAD+∠MDA=130°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠M=50°，由（2）的方法可得∠F=25°；（4）根據(jù)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和以及角平分線的定義求出表示出∠Q=180°- ∠A與∠A1= ∠A即可得出結(jié)論①是正確的．

試題解析：

（1）∠A；70°；35°；

（2）∠A=2n∠An

(3)25°

（4）①∠Q+∠A1的值為定值正確．

∵∠ACD﹣∠ABD=∠BAC，BA1、CA1是∠ABC的角平分線與∠ACB的外角∠ACD的平分線

∴∠A1=∠A1CD﹣∠A1BD=∠BAC，

∵∠AEC+∠ACE=∠BAC，EQ、CQ是∠AEC、∠ACE的角平分線，

∴∠QEC+∠QCE=（∠AEC+∠ACE）=∠BAC，

∴∠Q=180°﹣（∠QEC+∠QCE）=180°﹣∠BAC，

∴∠Q+∠A1=180°．