Question

【題目】如圖直角坐標系中直線 AB 與 x 軸正半軸、y 軸正半軸交于 A，B 兩點，已知 B(0，4)，∠BAO=30°，P，Q 分別是線段 OB，AB 上的兩個動點，P 從 O 出發以每秒 3 個單位長度的速度向終點 B 運動，Q 從 B 出發以每秒 8 個單位長度的速度向終點 A 運動，兩點同時出發，當其中一點到達終點時整個運動結束，設運動時間為 t（秒）．

(1)求線段 AB 的長，及點 A 的坐標；

(2)t 為何值時，△BPQ 的面積為；

(3)若 C 為 OA 的中點，連接 QC，QP，以 QC，QP 為鄰邊作平行四邊形 PQCD，

①t 為何值時，點 D 恰好落在坐標軸上；

②是否存在時間 t 使 x 軸恰好將平行四邊形 PQCD 的面積分成 1∶3 的兩部分，若存在，直接寫出 t 的值．

Answer 1

【答案】； （2）1或；(3)①或；②.

【解析】

由30°角的性質求出AB的長，由勾股定理求出OA的長，進而可求出點A的坐標；

（2）由運動知，OP＝3t，BQ＝8t，BP＝43t，過點Q作QH⊥OB于H，由勾股定理求出HQ的長，然后利用三角形的面積公式求解即可；

（3）①當點D在y軸上時，QC∥PD，利用三角形的中位線求解即可；當點D在x軸上時，PQ∥AD，利用sin∠BQP＝求解即可；

②如圖 ，連接PC，過點Q作QH⊥OB于H，過點D作DF⊥OA于F，由平行四邊形的性質知S△CPQ＝S△PCD，由x軸恰好將平行四邊形PQCD的面積分成1：3的兩部分，可得S△PCE＝S△DCE，可證DF＝OP＝3t，然后證明延長DF，PQ相交于M，延長HQ交DM于N，然后證明△CDF≌△QPH，可得PH＝DF＝3t，利用4t＋3t＋3t＝4即可求出t的值.

解：（1）∵B（0，4），

∴OB＝4，

在Rt△AOB中，∠BAO＝30°，

∴AB＝2OB＝8，BC＝OB＝4，

∴A（4，0）.

（2）如圖1，

由運動知，OP＝3t，BQ＝8t，

∴BP＝43t，

過點Q作QH⊥OB于H，

∴HQ＝4t，

∵△BPQ的面積為2，

∴（43t）×4t

＝2，

∴t＝1或t＝.

（3）①當點D在y軸上時，QC∥PD，

∵C是OA中點，

∴BQ＝AB＝4，

∴8t＝4，

∴t＝，

當點D在x軸上時，

∵PQ∥AD，

∴∠BPQ＝90°，

∴sin∠BQP＝ ，

∴，

∴t＝，

②如圖 ，連接PC，過點Q作QH⊥OB于H，過點D作DF⊥OA于F，

∵四邊形CDPQ是平行四邊形，

∴S△CPQ＝S△PCD，

∵x軸恰好將平行四邊形PQCD的面積分成1：3的兩部分，

∴S△PCE＝S△DCE，

∴點E是DP的中點，

易知，DF＝OP＝3t，

延長DF，PQ相交于M，延長HQ交DM于N，

∵CD∥PQ，

∴∠M＝∠CDF，∠M＝∠HPQ，

∴∠CDF＝∠HPQ，

∵CD＝PQ，

∴△CDF≌△QPH，

∴PH＝DF＝3t，

∵BH＝BQ＝4t，

∴4t＋3t＋3t＝4，

∴t＝．